1 σχόλιο

  1. christosmodp

    Έστω Κ το κέντρο του ημικυκλίου διαμέτρου ΟΑ (δηλ. ακτίνας R/2), Λ το κέντρο του κυκλικού δίσκου που εφάπτεται στα ημικύκλια και στην ΑΒ και ρ η ακτίνα του, Γ το σημείο επαφής του κυκλικού δίσκου με το ημικύκλιο διαμέτρου ΟΑ, Δ το σημείο επαφής του κυκλικού δίσκου με το εξωτερικό ημικύκλιο, Ε το σημείο επαφής του κυκλικού δίσκου με την ΑΒ. Συμβολίζουμε επίσης ω=γωνία ΔΑΒ. Τότε:

    Κ,Γ,Λ συνευθειακά και ΚΛ=ρ+R/2,
    Ο,Λ,Δ συνευθειακά και ΟΛ=R-ρ,
    ΛΕ κάθετη στην ΑΒ και ΛΕ=ρ.

    Επίσης η γωνία ΔΟΒ = 2ω (εξωτερική στο ισοσκελές ΑΟΔ, ΟΑ=ΟΔ=R) και γωνία ΔΟΑ=180-2ω.

    Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΛΟΕ είναι : ημ(2ω)=ΛΕ/ΟΛ= ρ/(R-ρ) (1)

    Στο τριγ. ΟΚΛ από νόμο συνημιτόνων είναι :
    (ΚΛ)^2=(ΟΚ)^2+(ΟΛ)^2-2(ΟΚ)(ΟΛ)συν(180-2ω). Μετά την αντικατάσταση και τις πράξεις θα πάρουμε ότι: συν(2ω)=(3ρ-R)/(R-ρ) (2).

    Από (1), (2) και την ημ^2(2ω)+συν^2(2ω)=1, μετά τις πράξεις παίρνουμε:
    ρ=4R/9 , οπότε το ζητούμενο εμβαδό είναι ίσο με πρ^2=16πR^2/81.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *