Καλλιέργεια της κριτικής ικανότητας μέσα από την επίλυση ασκήσεων

Καλλιέργεια της κριτικής ικανότητας μέσα από την επίλυση ασκήσεων

 

Κατερίνα Χατζηγεωργίου

M.Sc Μαθηματικός – Συγγραφέας

Μεθοδολογία Μαθηματικών

Καλλιέργεια της κριτικής ικανότητας μέσα από την επίλυση ασκήσεων

Η ακόλουθη εργασία αποτελεί τμήμα της εισήγησης που παρουσιάστηκε στην 9η μαθηματική εβδομάδα

με τίτλο: Οικοδομώντας την επανάληψη – Το παράδειγμα της μονοτονίας, 9η Μαθηματική εβδομάδα

2017.

[latexpage]

Το παράδειγμα της μονοτονίας

Ας μελετήσουμε το θέμα της μονοτονίας το οποίο διδάσκεται στην παράγραφο 1.3 αλλά και 2.6 του

σχολικού βιβλίου της κατεύθυνσης της Γ΄ λυκείου.

Αντιμέτωποι με ένα θέμα εύρεσης μονοτονίας, τα προβλήματα που μας απασχολούν είναι τα ακόλουθα:

1. Να βρούμε τη μονοτονία της συνάρτησης βάσει του ορισμού της γνησίως μονότονης συνάρτησης ή

χρησιμοποιώντας το θεώρημα της πρώτης παραγώγου;

2. Το πρόσημο της πρώτης παραγώγου είναι θετικό, αρνητικό, μεταβαλλόμενο, ή άγνωστο;

3. Αν δεν μπορούμε να υπολογίσουμε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου, πώς συνεχίζουμε;

4. Υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις εύρεσης μονοτονίας που πρέπει να λειτουργήσουμε διαφορετικά;

Το σχεδιάγραμμα που ακολουθεί δίνει απαντήσεις στα παραπάνω. Δεν προτείνεται για απομνημόνευση,

ούτε αποτελεί λύση για όλα τα προβλήματα εύρεσης μονοτονίας. Αποτελεί όμως αντικείμενο μελέτης,

ώστε να συνειδητοποιήσει ο μαθητής την πορεία της σκέψης του, να επιλέγει πιο συνειδητά τον τρόπο

επίλυσης μίας άσκησης εύρεσης μονοτονίας και να αντιληφθεί τη σημασία της υποβολής αυτό-ερωτήσεων.

 

Μικτή θα ονομάζουμε μία συνάρτηση που περιέχει δύο τουλάχιστον είδη συναρτήσεων από τις:

εκθετικές, λογαριθμικές, πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές.

Παράδειγμα

Να μελετηθεί η συνάρτηση ${\mathrm f}\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ με τύπο ${\mathrm f}\left(x\right)=\sfrac{1}{2}{{x}^{2}}+x+1-{{e}^{x}}$ ως προς τη μονοτονία.

Λύση:

1. Είναι η συνάρτηση ${\mathbf\mathrm f}$ παραγωγίσιμη;

Η συνάρτηση ${\mathrm f}$ είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

Για κάθε $x\in \mathbb{R}$, ισχύει ${\mathrm f}’\left(x\right)=x+1-{{e}^{x}}$.

2. Μπορούμε να υπολογίσουμε το πρόσημο της πρώτης παραγώγου;

Από τον τύπο της ${\mathrm f}’$ δεν μπορούμε να συμπεράνουμε το πρόσημό της, ούτε μπορούμε να

λύσουμε την ${\mathrm f}’\left(x\right)=0$ με κάποια γνωστή αλγεβρική μέθοδο. Μπορούμε όμως με

παρατήρηση να βρούμε μία προφανή ρίζα, τη $x=0$.

3. Είναι η πρώτη παράγωγος γινόμενο ή πηλίκο συναρτήσεων;

Όχι.

4. Είναι η πρώτη παράγωγος μικτή συνάρτηση;

Ναι. Η ${\mathrm f}’$ είναι το άθροισμα ενός πολυωνύμου και μίας εκθετικής συνάρτησης, οπότε θα

προσπαθήσουμε να βρούμε τη μονοτονία της, υπολογίζοντας τη δεύτερη παράγωγο.

Για κάθε $x\in \mathbb{R}$, ισχύει ${{\mathrm f}”\left(x\right)=1-{{e}^{x}}$ με ${\mathrm f}”\left(x\right)=0\iff 1-{{e}^{x}}=0\iff x=0$.

Οπότε, έχουμε:

όπου, ${\mathrm f}”\left(x\right)>0\iff -{{e}^{x}}>0\iff {{e}^{x}}<{{e}^{0}}\iff x<0$

και ${\mathrm f}”\left(x\right)<0\iff -{{e}^{x}}<0\iff {{e}^{x}}>{{e}^{0}}\iff x>0$

Επίσης, για κάθε $x<0\:\overset{{\mathrm f}’\uparrow}{\mathop{\Longrightarrow}}\,{\mathrm f}’\left(x\right)<{\mathrm f}’\left(0\right)\Longrightarrow{\mathrm f}’\left(x\right)<0$

και για κάθε $x>0\:\overset{{\mathrm f}’\downarrow}{\mathop{\Longrightarrow}}\,{\mathrm f}’\left(x\right)<{\mathrm f}’\left(0\right)\Longrightarrow{\mathrm f}’\left(x\right)<0$.

Άρα, για κάθε $x\in \mathbb{R}$, η ${\mathrm f}’\left(x\right)\le0$ με την ισότητα

να ισχύει μόνο για $x=0$.

Επομένως, η ${\mathrm f}$ είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το $\mathbb{R}$.

 

Το βιβλίο «Αναγνώριση – Μεθοδολογία – Εφαρμογή

Μαθηματικά Γ΄ λυκείου» της συγγραφέως, είναι οργανωμένο σε θεματικές

ενότητες και αποτελεί ένα σημαντικό βοήθημα στην δόμηση μίας ολοκληρωμένης

επανάληψης.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *