Ο γρίφος της Εβδομάδας – Κερδοσκοπία (για δυνατούς λύτες)  

Σε ένα μηχάνημα ανταλλαγής νομισμάτων, ανταλλάσσονται ευρώ με δηνάρια και αντιστρόφως με ισοτιμία σ δηνάρια για 1 ευρώ ή 1/σ ευρώ για 1 δηνάριο αντιστοίχως, όπου σ θετικός πραγματικός αριθμός.

Το μηχάνημα όμως στρογγυλοποιεί στον πλησιέστερο ακέραιο το ποσό των δηναρίων ή ευρώ που πρέπει να δώσει και αν το ποσό αυτό είναι ακριβώς στη μέση μεταξύ δύο ακεραίων, το στρογγυλοποιεί στον μεγαλύτερο ακέραιο.

Έχω ένα ακέραιο ποσό σε ευρώ και θέλω να το αυξήσω με χρήση του μηχανήματος, μετατρέποντάς το εφάπαξ όλο σε δηνάρια και εν συνεχεία μετατρέποντας εφάπαξ όλα τα δηνάρια σε ευρώ.

α) Ποια αναγκαία συνθήκη πρέπει να ικανοποιεί η ισοτιμία σ για να έχω πιθανότητα να το καταφέρω;

β) Εφόσον ικανοποιείται αυτή η συνθήκη και το καταφέρω μία φορά, πόσες φορές μπορώ να το ξανακάνω στη συνέχεια μετατρέποντας κάθε φορά όλα τα ευρώ σε δηνάρια και όλα τα δηνάρια σε ευρώ, για να αυξήσω κι άλλο τα ευρώ μου;

προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου 

3 σχόλια

  1. ΚΣ

    Έστω Χ τα ευρώ και Σ η ισοτιμία. Για να κερδίσουμε από τη Σ θα πρέπει να έχουμε στρογγυλοποίηση δηναρίων προς τα πάνω. Τα στρογγυλοποιημένα δηνάρια όταν διαιρεθούν με τη Σ θα δώσουν ποσότητα ευρώ μεγαλύτερη από την αρχική. Εδώ έχουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις:
    1. το δεκαδικό μέρος του αριθμού είναι ίσο ή και μεγαλύτερο από το 1/2, συνεπώς έχουμε και μια επιπλέον στρογγυλοποίηση προς τα πάνω.
    2. Το δεκαδικό μέρος του αριθμού είναι μικρότερο από 1/2. Συνεπώς κρατάμε μόνο την ακέραιη αύξηση στην αρχική ποσότητα των ευρώ αν αυτή υπάρχει.

    Για να έχουμε κάποια από τις παραπάνω καταστάσεις θα πρέπει το Σ1, Τότε η πρώτη μετατροπή σε δηνάρια θα είναι ΧΣ. Αν το δεκαδικό μέρος μέρος είναι ίσο ή μεγαλύτερο από 1/2 τότε προσθέτουμε μια ποσότητα Ρ για να έχουμε ακέραιο αριθμό. Δηλαδή ΧΣ+Ρ . Αυτά γίνονται Χ+Ρ/Σ ευρώ. Αφού Ρ 1 => Ρ/Σ Χ*Σ δηνάρια => ο αριθμός αυτός έχει δεκαδικό μέρος που είναι > ή = με 0.5.
    Τότε, προσθέτουμε μια ποσότητα Ρ μικρότερη ή ίση με 1/2 και έχουμε στρογγυλοποίηση προς τα πάνω σε δηνάρια, δηλαδή Χ*Σ+Ρ.
    Τα δηνάρια τα κάνουμε ευρώ και έχουμε (Χ*Σ+Ρ)/Σ=Χ+Ρ/Σ. Αυτή η ποσότητα εμπίπτει σε μια από τις δυο περιπτώσεις 1 και 2 .
    1. έχει δεκαδικό μέρος > ή = με το 0.5 , συνεπώς κάνουμε στρογγυλοποίηση προς τα πάνω προσθέτοντας μια ποσότητα Λ που είναι μικρότερη ή ίση με 1/2 και έχουμε Χ+Ρ/Σ+Λ ευρώ.
    2η κυκλική μετατροπή=> (Χ+Ρ/Σ+Λ)*Σ=ΧΣ+Ρ+Λ*Σ δηνάρια.
    Αν αφαιρέσουμε τα στρογγυλοποιημένα δηνάρια του πρώτου γύρου από τα δηνάρια του δεύτερου θα έχουμε (ΧΣ+Ρ+Λ*Σ)-(Χ*Σ+Ρ)=Λ*Σ
    Όμως εμείς ξέρουμε ότι το Σ <1 και το Λ μικρότερο ή ίσο με ½, άρα Λ*Σ(Χ+Ρ/Σ-Λ)*Σ=ΧΣ+Ρ-Λ*Σ δηνάρια.
    Αν αφαιρέσουμε τα στρογγυλοποιημένα δηνάρια του πρώτου γύρου από τα δηνάρια του δεύτερου θα έχουμε (ΧΣ+Ρ-Λ*Σ)-(Χ*Σ+Ρ)=-Λ*Σ. Αυτή η ποσότητα είναι αφενός μικρότερη από 1/2 και αφετέρου αρνητική, που σημαίνει ότι τα δηνάρια του πρώτου γύρου ήταν περισσότερα άρα δεν μπορούμε να έχουμε επιπλέον ευρώ από αυτή τη διαδικασία.

  2. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Πολύ ωραία Κωστή, μπράβο!
    Συνοπτικά, η αναγκαία συνθήκη είναι σ μικρότερο του 1 και εφόσον ικανοποιείται, μπορώ να κερδίσω το πολύ μία φορά, όχι δεύτερη.

    Έστω ότι αρχικά έχω ν ευρώ.
    Αν σ = 1, προφανώς δεν έχω τύχη.
    Αν σ > 1, τότε η ακριβής πραγματική αξία των ν ευρώ θα ήταν ν*σ δηνάρια. Σε αυτή την περίπτωση, το καλύτερο που θα μπορούσε να μου συμβεί είναι ο αριθμός ν*σ να υπολείπεται από τον αμέσως μεγαλύτερο ακέραιο κατά 1/2 ευρώ το πολύ, οπότε βάζοντας τα ν ευρώ στο μηχάνημα, αυτό θα μου επέστρεφε το πολύ ν*σ+1/2 δηνάρια. Η ακριβής πραγματική αξία των ν*σ+1/2 δηναρίων είναι (ν*σ+1/2)/σ = ν+1/(2σ) ευρώ. Επειδή όμως το 1/(2σ) είναι μικρότερο του 1/2, βάζοντας τα ν*σ+1/2 το πολύ δηνάρια πίσω στο μηχάνημα, αυτό θα μου επέστρεφε ν ευρώ ακριβώς, οπότε και σε αυτή την περίπτωση δεν έχω τύχη.
    Απομένει η περίπτωση το σ να είναι μικρότερο του 1. Πράγματι, αν π.χ. σ=1/2 και ν=1, τότε το 1 αρχικό ευρώ αξίζει πραγματικά όσο 1/2 δηνάρια, στο μηχάνημα μετατρέπεται σε 1 δηνάριο και βάζοντας το 1 δηνάριο πίσω στο μηχάνημα, αυτό μου δίνει 2>1 ευρώ.

    β) Αν σ μικρότερο του 1 => 1/σ > 1
    Τώρα όμως, σε αντιστοιχία με το επιχείρημα της απάντησης στο ερώτημα α, δεν μπορεί να υπάρξει ποτέ αύξηση στον αριθμό των δηναρίων που περνάνε από τα χέρια μου. Έτσι, μετά από το αρχικό μου κέρδος σε ευρώ, κανένα περαιτέρω κέρδος δεν είναι εφικτό.

  3. ΚΣ

    Ο Δαίμων του ηλεκτρονικού ταχυδρομείου έκανε τη δουλεια του και κάποια κομμάτια της προτεινόμενης λύσης “κόπηκαν”. Αποστέλλω εκ νέου την προτεινόμενη λύση

    Έστω Χ τα ευρώ και Σ η ισοτιμία. Για να κερδίσουμε από τη Σ θα πρέπει να έχουμε στρογγυλοποίηση δηναρίων προς τα πάνω. Τα στρογγυλοποιημένα δηνάρια όταν διαιρεθούν με τη Σ θα δώσουν ποσότητα ευρώ μεγαλύτερη από την αρχική. Εδώ έχουμε τις ακόλουθες περιπτώσεις :
    1. το δεκαδικό μέρος του αριθμού είναι ίσο ή και μεγαλύτερο από το 1/2, συνεπώς έχουμε και μια επιπλέον στρογγυλοποίηση προς τα πάνω.
    2. Το δεκαδικό μέρος του αριθμού είναι μικρότερο από 1/2. Συνεπώς κρατάμε μόνο την ακέραιη αύξηση στην αρχική ποσότητα των ευρώ αν αυτή υπάρχει.

    Για να έχουμε κάποια από τις παραπάνω καταστάσεις θα πρέπει το Σ1
    Τότε η πρώτη μετατροπή σε δηνάρια θα είναι ΧΣ. Αν το δεκαδικό μέρος μέρος είναι ίσο ή μεγαλύτερο από 1/2 τότε προσθέτουμε μια ποσότητα Ρ για να έχουμε ακέραιο αριθμό. Δηλαδή ΧΣ+Ρ . Αυτά γίνονται Χ+Ρ/Σ ευρώ. Αφού Ρ 1 => Ρ/Σ Χ*Σ δηνάρια => ο αριθμός αυτός έχει δεκαδικό μέρος που είναι > ή = με 0.5.
    Τότε, προσθέτουμε μια ποσότητα Ρ μικρότερη ή ίση με 1/2 και έχουμε στρογγυλοποίηση προς τα πάνω σε δηνάρια, δηλαδή Χ*Σ+Ρ.
    Τα δηνάρια τα κάνουμε ευρώ και έχουμε (Χ*Σ+Ρ)/Σ=Χ+Ρ/Σ. Αυτή η ποσότητα εμπίπτει σε μια από τις δυο περιπτώσεις 1. και 2 .
    1. έχει δεκαδικό μέρος > ή = με το 0.5 , συνεπώς κάνουμε στρογγυλοποίηση προς τα πάνω προσθέτοντας μια ποσότητα Λ που είναι μικρότερη ή ίση με 1/2 και έχουμε Χ+Ρ/Σ+Λ ευρώ.
    2η κυκλική μετατροπή=> (Χ+Ρ/Σ+Λ)*Σ=ΧΣ+Ρ+Λ*Σ δηνάρια.
    Αν αφαιρέσουμε τα στρογγυλοποιημένα δηνάρια του πρώτου γύρου από τα δηνάρια του δεύτερου θα έχουμε
    (ΧΣ+Ρ+Λ*Σ)-(Χ*Σ+Ρ)=Λ*Σ
    Όμως εμείς ξέρουμε ότι το Σ <1 και το Λ μικρότερο ή ίσο με ½, άρα Λ*Σ(Χ+Ρ/Σ-Λ)*Σ=ΧΣ+Ρ-Λ*Σ δηνάρια.
    Αν αφαιρέσουμε τα στρογγυλοποιημένα δηνάρια του πρώτου γύρου από τα δηνάρια του δεύτερου θα έχουμε
    (ΧΣ+Ρ-Λ*Σ)-(Χ*Σ+Ρ)=-Λ*Σ. Αυτή η ποσότητα είναι αφενός μικρότερη από 1/2 και αφετέρου αρνητική, που σημαίνει ότι τα δηνάρια του πρώτου γύρου ήταν περισσότερα άρα δεν μπορούμε να έχουμε επιπλέον ευρώ από αυτή τη διαδικασία.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *