Ο γρίφος της εβδομάδας – Μέρα Μιγχάουζεν

Μέρα εκλογών σήμερα, γιορτή της Δημοκρατίας, αλλά και γιορτή των απανταχού Μιγχάουζεν😊. Οι κάλπες είναι πολλές, ας τιμήσουμε λοιπόν κι Αυτήν κι αυτούς όπως πρέπει. Καλά βόλια!

1. Ο Μιγχάουζεν ισχυρίζεται ότι γνωρίζει έναν πρώτο αριθμό με κάμποσα ψηφία, που το άθροισμα όλων των μικρότερων ή ίσων με αυτόν φυσικών αριθμών διαιρείται με όλους τους μικρότερους ή ίσους με αυτόν πρώτους. Υπάρχει περίπτωση να λέει αλήθεια ο βαρόνος; Αιτιολογήστε.

2. Ο Μιγχάουζεν ισχυρίζεται ότι η αριθμητική πρόοδος με αρχικό όρο το 1 και διαφορά το 729 περιέχει έναν τουλάχιστον όρο που είναι δύναμη του 10. Υπάρχει περίπτωση να λέει την αλήθεια ο βαρόνος; Αν ναι δώστε ένα παράδειγμα, αν όχι γιατί;

5 σχόλια

  1. ΚΔ

    2. Aρκεί 729ν-728=10^μ, ν φυσικός >=1 και μ φυσικός >=0.Για να συμβαίνει αυτό πρέπει και αρκεί ο 729ν να γράφεται στη μορφή 10^μ+728.Για τα πολλαπλάσια του 729 που τελειώνουν σε 8 πρέπει κατ’ ανάγκη ν=2mod(10).Tότε 729ν=1458mod(10)=8mod(10) που τελειώνει σε 8.Επίσης πρέπει ν=32mod(100).Τότε 729ν=23328mod(100)=28mod(100) που τελειώνει σε 28.Επιπλέον πρέπει ν=632mod(1000).Tότε 729ν=460728mod(100)=728mod(100) που τελειώνει σε 728.Για ν=1000κ+632 η αρχική γράφεται 729(1000κ+632)=10^μ+728, 729000κ+460000=10^μ που είναι αδύνατη. Άρα δεν υπάρχει τέτοια ΑΠ.

  2. Στράτος

    1.
    Εστω ότι υπάρχει πρώτος αριθμός ν με αυτή την ιδιότητα.
    Το άθροισμα των ν πρώτων φυσικών αριθμών ισούται με Α=ν*(ν+1)/2
    Ο αριθμός Α θα πρέπει να διαιρεί όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι ή ίσοι με τον ν. Επομένως ο αριθμός Β=Α/ν=(ν+1)/2, θα πρέπει να διαιρεί όλους τους πρώτους αριθμούς που είναι μικρότεροι του ν.
    Όμως σύμφωνα με την εικασία του Bertrand, (https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand%27s_postulate), για κάθε φυσικό αριθμό n>3, υπάρχει πάντοτε ένας πρώτος αριθμός p, τέτοιος ώστε:
    n<p<2*n-2
    Εφαρμόζοντας την εικασία για n=(ν+1)/2, καταλήγουμε ότι υπάρχει πρώτος αριθμός p, τέτοιος ώστε::
    (ν+1)/2<p<(ν-1)
    Επομένως, εφ’όσον p(n+1)/2, ο αριθμός Α δεν μπορεί να διαιρεί τον p, επομένως η δήλωση του βαρόνου είναι ψευδής.

    2.
    Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιος κ όρος της αριθμητικής προόδου που να είναι δύναμη του 10. Τότε θα έχουμε:
    1+κ*3^6=10^ν, ή ισοδύναμα,
    Κ*3^6=999999…….999, και διαιρώντας διά 9,
    Κ*81=11111……..1111
    Το ερώτημα επομένως γίνεται εάν υπάρχει αριθμός που να αποτελείται μόνον από 1 και να διαιρείται διά 81. Θα αποδείξουμε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας τέτοιος αριθμός, ο οποίος είναι ο αριθμός που αποτελείται από ογδόντα ένα 1.
    Πράγματι, ο αριθμός 1111….1111 (81 ψηφία), γράφεται ως:
    10^80+10^79+10^78+……+10+1, ή ισοδύναμα:
    (10^80-1+1)+(10^79-1+1)+…..+(10-1+1)+1, ή ισοδύναμα
    9*(1111….11+1111..11+…….+111+11+1)+81, όπου ο αριθμός εντός της παρένθεσης είναι το άθροισμα 80 αριθμών, όπου ο πρώτος αποτελείται από ογδόντα 1, ο δεύτερος από 79, κ.ο.κ.
    Επομένως, προκειμένου να αποδείξουμε ότι ο αριθμός 1111….11 (ογδόντα ένα 1), διαιρείται διά 81, αρκεί να αποδείξουμε ότι ο αριθμός εντός της παρένθεσης διαιρείται διά 9.
    Παρατηρούμε ότι ο πρώτος αριθμός εντός της παρένθεσης έχει άθροισμα ψηφίων 80, ο δεύτερος έχει άθροισμα ψηφίων 79, κ.ο.κ. Επομένως ο αριθμός εντός της παρένθεσης έχει το ίδιο mod9 με το άθροισμα 80+79+…+1
    Όμως 80+79+…+1=80*81/2=81*40, το οποίο διαιρείται διά 9. Επομένως και ο αριθμός εντός της παρένθεσης διαιρείται διά 9, ο.έ.δ.
    Επομένως ο Βαρόνος έχει δίκιο. Βέβαια, ο όρος της αριθμητικής προόδου που συμβαίνει αυτό είναι αρκετά μεγάλος (πάνω από 1.37*10^78)

  3. ΚΔ

    1.Αν p o πρώτος τότε 1+2+…+p=p(p+1)/2. Τότε πρέπει κάθε πρώτος q =q(1)*….*q(ν). Τότε ο q(1)*…*q(ν)+1 θα είναι πρώτος και μικρότερος του (p+1)/2, άτοπο.

  4. ΚΣ

    Έστω ότι υπάρχει τέτοιος πρώτος που τον ονομάζουμε ν. Σύμφωνα με την εκφώνηση, το άθροισμα όλων των αριθμών μέχρι και το ν δίνεται από το άθροισμα αριθμητικής προόδου με διαφορά 1. Συνολικά είναι ίσο με ν*(ν+1)/2. Τώρα, αφού το ν είναι πρώτος αυτό σημαίνει ότι το (ν+1)/2 διαιρείται με όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι από το ν.
    Αν αυτό που λέει ο βαρόνος ισχύει θα πρέπει μεταξύ του (ν+1)/2 μέχρι του ν+1 να υπάρχει ένας μόνο πρώτος αριθμός και αυτός να είναι ο ν.
    Σύμφωνα με το θεώρημα Bertrand-Chebyshev, για κάθε φυσικό αριθμό ν μεγαλύτερο του 1, υπάρχει ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ένας πρώτος αριθμός p, τέτοιος ώστε ν μικρότερος από p και p μικρότερος από 2ν.
    Ο κατά ένα μικρότερος του (ν+1)/2 είναι ο (ν-1)/2. Σύμφωνα με το θεώρημα από το (ν-1)/2 μέχρι το 2*(ν-1)/2 = ν-1, υπάρχει τουλάχιστον ένας πρώτος αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι μεταξύ του (ν+1)/2 μέχρι το ν+1 υπάρχουν τουλάχιστον 2 πρώτοι αριθμοί. Άρα δεν μπορεί να ισχύει η διατύπωση του βαρόνου.

    Πρόβλημα 2
    Αν υπάρχει όρος που θα είναι δύναμη του 10 αυτός θα είναι ίσος με 1+729*ν, όπου ν ο ν ιοστος όρος της αριθμητικής προόδου.
    729=9^3
    Θα ισχύει
    10^κ=1+9^3*ν => 10^κ-1=9^3*ν => 10^κ-1/9^3*=ν
    10^κ-1 = 99….9999 (μια σειρά από 9αρια)=9*11…11
    9*11…11/9^3=11..11/9^2
    Για να πετύχουμε το ζητούμενο θα πρέπει το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού που αποτελείται από 1 να διαιρείται με το 9 , συνεπώς να είναι 9,18,27 … αλλά και στη συνέχεια το πηλίκο αυτό να διαιρείται εκ νέου με το 9.
    Παρατηρούμε ότι 111 111 111/9=12345679 , το άθροισμα των ψηφίων δίνει 37. Αν διπλασιάσουμε τα 1 και ο αριθμός αποτελείται από 18 (1) το πηλίκο της διαίρεσης με το 9 δίνει 12345679012345679 (άθροισμα ψηφίων 37*2). Αν τριπλασιάσουμε τότε το άθροισμα ψηφίων είναι 37*3 (12345679012345679012345679) κοκ
    Προκειμένου να πετύχουμε ο αριθμός που αποτελείται από 1 να διαιρείται με το 9^2
    Θα πρέπει να αποτελείται από 37*9= 333 (1) αφού αφενός οι 333 (1) διαιρούνται με το 9 και αφετέρου το πηλίκο είναι ένας αριθμός που επαναλαμβάνει το 12345679 κατά 9 φορές και άρα θα διαιρείται εκ νέου με το 9.
    Άρα 9*11..11 (αριθμός που αποτελείται από 333 (1)=999…999 (333 9αρια)
    10^κ-1= 999…999=> 10^κ=10^333

  5. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Ευχαριστώ θερμά όλους τους φίλους και συγχαίρω ιδιαιτέρως τους Στράτο, Κωστή για τις ολόσωστες και εμπεριστατωμένες αναλύσεις τους!
    Αν μου επιτρέπει ο φίλος ΚΔ, αναπτύσσω λίγο περισσότερο τη σκέψη του στο 1 (αν την έχω αντιληφθεί σωστά). Δίνω επίσης μια διαφορετική προσέγγιση στο 2, η οποία γενικεύει και επεκτείνει την ισχύ της δήλωσης του βαρόνου (όχι μόνο ένας όρος δύναμη του 10 και όχι απαραίτητα με διαφορά διαδοχικών όρων μια δύναμη του 3).

    1. Αν p είναι ο πρώτος που υποθετικά γνωρίζει ο βαρόνος και π1, π2,..,πν όλοι οι μικρότεροί του πρώτοι, τότε ο αριθμός 1+2+3+..+p = p(p+1)/2 πρέπει να διαιρείται από τους p, π1,π2,..,πν. Δεδομένου ότι οι πρώτοι είναι αμοιβαία πρώτοι και ο p διαιρεί τον p(p+1)/2, θα πρέπει οι π1, π2,..,πν, να διαιρούν τον (p+1)/2, άρα και ο Γ=π1*π2*..*πν να διαιρεί επίσης τον (p+1)/2. Επειδή όμως ο Γ δεν μπορεί να διαιρεί κάποιον μικρότερό του φυσικό αριθμό, για να συμβαίνει το τελευταίο, πρέπει να είναι:
    Γ ≤ (p+1)/2 ⇒ Γ+1 ≤ (p+1)/2+1 < p+1
    Ο αριθμός Γ+1 δεν διαιρείται με κανέναν από τους π1, π2,.., πν (αφήνει πάντα υπόλοιπο 1), επομένως θα πρέπει και ο ίδιος να είναι πρώτος και αναγκαστικά να ταυτίζεται με τον p. Έτσι θα έχουμε:
    Γ ≤ (p+1)/2 ⇒ -Γ ≥ -(p+1)/2,
    Γ+1= p
    και προσθέτοντας κ.μ.:
    1 ≥ p – (p+1)/2 ⇒ p ≤ 3
    Συνεπώς ο πρώτος που θα μπορούσε να έχει υπόψη ο Μιγχάουζεν δεν μπορεί να είναι πολυψήφιος (μπορεί όμως να είναι ο μονοψήφιος 3), άρα ο βαρόνος ψεύδεται (αλλά μόνο ως προς το πλήθος των ψηφίων😊).

    2. Καταρχάς ο 1 είναι ήδη δύναμη του 10, οπότε όλα τα παρακάτω θα μπορούσε και να περισσεύουν 😊.
    Υπάρχουν πάντως κι άλλοι τέτοιοι όροι. Για να βρούμε μερικούς, θα χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Euler-Fermat, σύμφωνα με το οποίο αν οι α και η είναι αμοιβαία πρώτοι, τότε:
    α^φ(η) = 1 modη, όπου φ(η) το πλήθος των μικρότερων ή ίσων με το η φυσικών που είναι αμοιβαία πρώτοι με το η (Euler totient function).
    Καταρχάς, αν α(1), α(2), .., α(ν),.. είναι οι όροι της αριθμητικής πρόοδου, ισχύει:
    α(ν+1) = 1+729ν (1)
    Οι αριθμοί 10 και 729 είναι αμοιβαία πρώτοι, οπότε σύμφωνα με το πιο πάνω θεώρημα ισχύει:
    10^φ(729) = 1 mod729 ⇒
    10^[κ*φ(729)] = 1 mod729 ⇒
    {10^[κ*φ(729)]-1} / 729 : ακέραιος
    Ονομάζουμε τον ακέραιο αυτό λ, οπότε από την (1) έχουμε:
    α(λ+1) = 1+729λ =
    1+729*{10^[κ*φ(729)]-1} / 729 = 10^[κ*φ(729)] : δύναμη του 10
    Είναι φ(729)=486, οπότε για κ=1, όρος της προόδου είναι ο 10^486. Ομοίως κάθε αριθμός της μορφής 10^(486κ).
    Επομένως ο βαρόνος λέει αλήθεια και μάλιστα οι όροι της προόδου που είναι δυνάμεις του 10 είναι άπειροι.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *