Ο γρίφος της ημέρας – (για καλούς λύτες)

Ο Πυθαγόρας έγραψε στον πίνακα διαδοχικούς φυσικούς αριθµούς αρχίζοντας από το 1.

Μετά πρόσθεσε τους αριθµούς που έγραψε.

Όµως έκανε λάθος και κάποιον αριθµό τον πρόσθεσε δύο φορές.

Αν το άθροισµα που βρήκε ήταν 220, ποιον αριθµό πρόσθεσε δύο φορές;

  Α) 10    Β) 20    Γ) 30         ∆) 155     Ε) κανένα από τα προηγούµενα

7 σχόλια

  1. Guest 3

    1+2+..+10 = (1+10)*10/2 = 55 (Άθροισμα Αριθμητικής Προόδου)
    11+12+…+20 = (11+20)*10/2 = 155 (όμοια)
    55+155 = 210, ενώ βρήκε 220, άρα μπορεί να πρόσθεσε μόνο το 10 δεύτερη φορά

  2. ΚΔ

    Αν 1,…,ν οι φυσικοί θα ισχύει 1+…+ν+1<=220<=1+…+ν+ν, ν(ν+1)/2+1<=220<=ν(ν+1)/2+ν, (ν^2+ν+2)/2<=220<=(ν^2+3ν)/2,
    ν^2+ν-438=0 που συναληθεύουν για ν=20. Τότε 1+…+ν=210 και ο διπλός αριθμός είναι ο 10.

  3. Carlo de Grandi

    Σωστή απάντηση είναι η (Α). Ο Πυθαγόρας πρόσθεσε δύο φορές το 10.
    Το άθροισμα των διαδοχικών αριθμών από το 1 έως το n βρίσκεται από τον τύπο Σ=1*n*(n+1)/2.
    Με δοκιμές βλέπουμε ότι ο μόνος αριθμός που ικανοποιεί τη συνθήκη του προβλήματος είανι ο n=20.
    Άρα έχουμε:
    Σ=1*n*(n+1)/2 —-> Σ=1*20(20+1)/2 —-> Σ=10*21 —–> Σ=210
    Επομένως ο αριθμός που έγραψε δύο φορές ο Πυθαγόρας ήταν ο αριθμός 10
    Δοκιμές με n μικρότερο του 20, π.χ. 19, θα έλλειπαν 220-190=30 μονάδες ή και περισσότερο, όσο μειώνεται ο αριθμός n, οι οποίες δεν συμπεριλαμβάνονται στους αριθμούς από το 1 έως το 19, ώστε να μετρηθούν δύο φορές.

  4. christosmodp

    Το Α (δηλ. 10)

    Έστω ότι είναι ν ο τελευταίος από τους αριθμούς που πρόσθεσε και μ αυτός από τους 1,2,…,ν που προστέθηκε 2 φορές. Τότε 1+2+…+ν + μ =220 ν(ν+1)/2 + μ =220 (1).

    Από (1) είναι ν(ν+1)/2 <220 (τριώνυμο) 1 < ή ίσο ν < ή ίσο 20 (2). Για το μ ισχύει επίσης η (2).

    Αν ν=20 τότε 1+2+…+20=210 οπότε μ=10, δεκτό.

    Αν ήταν 1 < ή ίσο ν < ή ίσο 19, τότε 1+2+…+ν = ν(ν+1)/2 < ή ίσο 190 (κατασκευαστικά), άρα θα έπρεπε μ=30, αδύνατο.

  5. ΙΟΡΔΑΝΗΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΑΣ

    Α) =10, ν(ν+1)/2=210 => ν=20

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *