Ο γρίφος της ημέρας – (για καλούς λύτες)

Γράφουμε  τους φυσικούς αριθμούς  σε διάταξη τρίγωνου ως εξής :

                                                       1

                                                  2   3   4

                                            5    6   7   8    9

                                    10  11  12  13 14  15   16

                              17  18  19  20  21  22   23  24   25

                        26  27  28  29  30  31  32   33   34   35    36

                  37  38  39  40  41  42  43  44   45   …………………..

Σε ποια γραμμή θα βρούμε τον αριθμό 2017;Σε ποια θέση της γραμμής 1η,2η,…βρίσκεται ο 2017;

8 σχόλια

  1. macgyver

    Παρατηρούμε ότι ο πρώτος αριθμός κάθε σειράς είναι ο 1+α^2 με το α να παίρνει διαδοχικά τις τιμές 0,1,2,3,4,5,6,…..Το 2017 θα βρίσκεται στην σειρά που ο πρώτος της αριθμός είναι ο αμέσως μικρότερος ή ίσος του 2017 και έχει την παραπάνω μορφή.Παρατηρούμε επίσης με δοκιμές ότι 44^2+1<2017<45^2+1.Άρα ο 2017 βρίσκεται στην 45 σειρά.Ο πρώτος αριθμός της σειράς είναι ο 44^2+1=1937.
    2017-1937=80.
    Συνεπώς ο 2017 είναι ο 81 αριθμός της 45 σειράς.

  2. Μάνος Κοθρής

    sqrt(2017) = 44,…..
    Βρίσκεται στην (44+1) = 45η σειρά
    και στην (2017 – 44^2) = 81η θέση

  3. Guest 3

    45η γραμμή στην 81η θέση
    Παρατηρούμε ότι σε κάθε γραμμή n ο τελευταίος αριθμός (n^2) είναι το τετράγωνο ενός φυσικού (1=1^2, 4=2^2,9=3^2, κλπ.), ενώ σε κάθε γραμμή n περιέχονται 1+2*(n-1)=2n-1 θέσεις.

    Με δοκιμές, αρχικά στην 50η γραμμή που έχει στη τελευταία θέση το 50^2=2500 και σύνολο 99 θέσεις, άρα περιέχονται οι αριθμοί 2402 έως 2500 (δε μας κάνει).
    Τώρα, στη 45η θέση βρίσκεται τελευταίο το 45^2=2025 και περιέχονται 89 θέσεις, άρα αφού
    2017=2025-8, το 2017 βρίσκεται στην 81η θέση.

  4. ΚΔ

    Tο τετράγωνο του αύξοντα αριθμού γραμμής είναι το τελευταίο στοιχείο της.Άρα ο 2017 βρίσκεται στην 45η γραμμή, γιατί 44^2=1936, 45^2=2025.Τα στοιχεία κάθε γραμμής είναι δοΑΠ με ω=1.Από την εξίσωση 2017=1937+(ν-1)*1 βρίσκω τη θέση του 2017 που είναι η 81η.

  5. Carlo de Grandi

    Παρατηρώντας την διάταξη των αριθμών βλέπουμε ότι στο τέλος κάθε σειράς ο αριθμός είναι τέλειο τετράγωνο και συγχρόνως ο αύξοντας αριθμός της γραμμής. Επίσης οι αριθμοί κάθε γραμμής βρίσκονται ανάμεσα σε διαδοχικά τετράγωνα. Για να βρούμε σε ποια γραμμή βρίσκεται ο αριθμός 2017 εργαζόμαστε ως εξής:
    Με δοκιμές βρίσκουμε ότι ο αριθμός 2017 βρίσκεται μεταξύ του αριθμού 1936=44^2 και του αριθμού 2025=45^2. Οπότε έχουμε:
    1936 μικρότερο του 2011 μικρότερο του 2025 —-> 44^2 μικρότερο 2011 μικρότερο 45^2
    Επομένως ο αριθμός 2017 βρίσκεται στην 45η γραμμή.
    Για να βρούμε σε ποια θέση της γραμμής βρίσκεται ο αριθμός 2017 εργαζόμαστε ως εξής:
    Από τον τύπο (2κ-1), όπου κ ο αύξοντας αριθμός της γραμμής, βρίσκουμε το πλήθος των αριθμών που περιλαμβάνει κάθε γραμμή.
    Οπότε έχουμε:
    2κ-1=2*45-1=90-1=89
    Άρα η ΄45η γραμμή περιλαμβάνει 89 αριθμούς.
    Ο αριθμός 2017 βρίσκεται στην 81η θέση (89-8=2025-8=2017)

  6. ΟΧΙ

    Στην 45η γραμμή ο τελευταίος όρος είναι ο 45*45=2.025.
    Στην 37η θέση της βρίσκεται ο 2.017.

  7. Μιχάλης

    45/81

    Επειδή πρόσεξα πως το προσέγγισα εντελώς διαφορετικά προσθέτω κάποιες διευκρινίσεις.

    Το πλήθος των όρων σε κάθε γραμμή σχηματίζει αριθμητική πρόοδο 1,3,5,7…
    Υπολογίζω το ν=45 από το Σν>=2017
    Υπολογίζω το Σ44 και αφαιρώ από το 2017 για να πάρω τη θέση (81)

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *