Ο γρίφος της ημέρας – Η Νέα Ένδειξη (Για καλούς λύτες)

Ενώ ο Δημήτρης οδηγούσε το αυτοκίνητο του στην επιστροφή του από τη Λευκάδα στην Βέροια  , παρατήρησε ότι το κοντέρ του αυτοκινήτου έγραφε τον αριθμό 13931.

Ο αριθμός αυτός λέγεται παλινδρομικός ή καρκινικός επειδή διαβάζεται το ίδιο και από αριστερά και από δεξιά. Μετά από 2 ώρες οδήγησης ο Δημήτρης παρατήρησε ότι το κοντέρ έδειχνε έναν άλλο παλινδρομικό αριθμό.

Θεωρώντας ότι το αυτοκίνητο έτρεχε με φυσιολογική ταχύτητα (μεγαλύτερη από 60 Km/h και μικρότερη από 120 Km/h), ποιος θα μπορούσε να ήταν ο νέος αριθμός;

προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr

10 σχόλια

  1. Χρήστος Απάντηση

    Για να βρούμε είτε τον αμέσως επόμενο παλινδρομικο είτε όποιον θέλουμε
    Κάνουμε το εξής
    Απλά παίρνουμε έτοιμο τον αμέσως επόμενο παλινδρομικο (σε αυτην την περίπτωση το 14.041) και απλά κάνουμε μια αφαιρεση από τον αρχικό 13.931 (που βγαίνει 110χλμ το οποίο είναι >60 και <120)
    Το ίδιο για τους υπολοιπους

  2. Θανάσης Παπαδημητρίου Απάντηση

    Ο νέος αριθμός πρέπει να είναι μεγαλύτερος από 13931+2×60=14051 και μικρότερος από 13931+2×120=14171. Σε αυτό το εύρος, μοναδικός παλινδρομικός είναι ο 14141.

    Ένα λίγο πιο δύσκολο πρόβλημα για τους απαιτητικούς φίλους:
    Ποιος είναι ο μικρότερος παλινδρομικός πενταψήφιος που διαιρείται με το 99;

    • voulagx

      O αριθμος 99099 θεωρειται παλινδρομικος;

    • voulagx

      Εστω Α=(αβγβα)=α*10^4+β*10^3+γ*10^2+β*10+α ο ζητουμενος αριθμος.
      Προφανως: 9/α και 11/Α οποτε απο τα κριτηρια διαιρετοτητας εχουμε:
      α+β+γ+β+α=2(α+β)+γ=9κ (1)
      α-β+γ-β+α=2(α-β)+γ=11λ (2)
      και αφαιρωντας κατα μελη:
      4β=9κ-11λ => β=(9κ-11λ)/4 (3) οπου οι κ,λ περιττοι για να ειναι ο β ακεραιος.
      Αν: α-β=δ => α=β+δ. Η (2) γινεται:
      2δ+γ=11λ (4)
      Αν α=β => δ=0 τοτε απο την (4) προκυπτει: λ=0 και γ=0 οποτε απο την (3):
      β=α=9κ/4 [κ=4] αρα : α=β=9 και Α=99099.
      Αν α>β δηλ. δ>0.
      Απο την (4) εχουμε: γ=11λ-2δ με δΕ{1,2,..,9].
      Ειναι: 10>γ=11λ-2δ για μεγιστο δ=9 ειναι: 10>11λ-18 => 28>11λ=> 2,5>λ αρα: λΕ{1,2}
      αλλα ο λ ειναι περιττος (βλ. (3)) αρα: λ=1 οποτε γ>0 => 11-2δ>0 => 11>2δ =>5,5>δ
      συνεπως: δΕ{1,2,3,4,5}
      και απο την (3): β=(9κ-11)/4 (5)
      Ειναι: β>0 => 9κ-11> => 9κ>11 => κ>11/9 => κ>1 (6)
      και: 10>β =>10>(9κ-11)/4 => 40>9κ-11 => 51>9κ => 51/9>κ => 5,6>κ (7)
      Απο τις (3), (6) και (7) προκυπτει οτι: κΕ{3,5}
      Απο την (5) εχουμε:
      α) κ=5: β=(9*5-11)/4=34/4=8,5 μη αποδεκτο
      β) κ=3: β=(9*3-11)/4=16/4=4 αποδεκτο
      Αλλα: α=β+δ=4+δ αρα το ελαχιστο α ( αρα και το ελαχιστο Α) προκυπτει απο την
      ελαχιστη τιμη του δ=1 οποτε: α=4+1=5
      και: γ=11λ-2δ=11-2=9
      Αρα: Α=(αβγβα)=54945 ο ζητουμενος αριθμος.

      Για του λογου το αληθες, οι υπολοιποι πενταψηφιοι παλινδρομικοι που προκυπτουν
      απο την παραπανω διαδικασια για δ=2,3,4,5 ειναι:
      64746, 74547, 84348, 94149.

  3. ΚΔ Απάντηση

    Ο αμέσως επόμενος παλινδρομικός από το 13931 είναι ο 14041, που όμως δεν μπορεί να συμβαίνει, γιατί έχουν περάσει 2 ώρες από τη στιγμή που είδε τον 13931 κι ακόμα με την ελάχιστη ταχύτητα των 60 χλμ/ώρα κι αν έτρεχε ο χιλιομετρητής θα είχε φθάσει στα 14051 χλμ. Ο αμέσως μεγαλύτερος παλινδρομικός είναι ο 14141 που αντιστοιχεί σε ταχύτητα μικρότερη των 120 χλμ/ώρα και που σε 2 ώρες θα τον έχει δείξει ο χιλιομετρητής. Άρα αυτός είναι και ο ζητούμενος αριθμός.

  4. Θανάσης Παπαδημητρίου Απάντηση

    Σωστά Μάνο. Πολύ όμορφη ανάλυση φίλε voulagx! Δες και μια κάπως διαφορετική, χωρίς αναγωγή στη διαιρετότητα με το 9 και το 11:

    Αν ο αριθμός γράφεται χψζψχ, με χ≠0, τότε:
    10000χ+1000ψ+100ζ+10ψ+χ = 10001χ+1010ψ+100ζ = (9999+2)χ+(990+20)ψ+(99+1)ζ =99*(101χ+10ψ+ζ)+(20ψ+2χ+ζ)
    Για να διαιρείται ο χψζψχ με το 99, αρκεί να διαιρείται ο 20ψ+2χ+ζ με το 99 και για να είναι ο ελάχιστος θα πρέπει το ψηφίο χ να έχει την ελάχιστη δυνατή τιμή.
    Ο 20ψ+2χ+ζ είναι μεγαλύτερος από το 0, αφού χ≠0, και μικρότερος ή ίσος από τον 20*9+2*9+9=207. Στο εύρος αυτό, πολλαπλάσιοι του 99 είναι μόνο ο 99 και ο 198.
    Για να πάρουμε τον 198, πρέπει ψ=9, οπότε 2χ+ζ=18, με ελάχιστο χ=5 και αντίστοιχο ζ=8 που μας δίνουν τον αριθμό 59895.
    Για να πάρουμε τον 99, πρέπει ψ=4, οπότε 2χ+ζ=19, με ελάχιστο χ=5 και αντίστοιχο ζ=9 που μας δίνουν τον αριθμό 54945.
    Έτσι, αφού 54945<59895, ο ελάχιστος χψζψχ είναι ο 54945.

    • voulagx

      @Θανασης Παπαδημητριου.
      Η ωραια λυση σου μου θυμισε το θεωρημα του K. Conrad.
      Με τον δικο σου συμβολισμο, εστω: Α=χψζψχ=χ*10^4+ψ*10^3+ζ*10^2+ψ*10+χ ο ζητουμενος αριθμος.
      Συμφωνα με το θεωρημα του Κονραντ, αφου: 99/10*10-1=99 και 99/Α=χψζψχ επεται οτι :
      (χ*10^3+ψ*10^2+ζ*10+ψ)+10χ=99κ, κΕΝ
      1010χ+101ψ+10ζ=99κ
      990χ+99ψ+20χ+2ψ+10ζ=99κ
      99(10χ+ψ)+2(10χ+ψ+5ζ)=99κ
      2(10χ+ψ+5ζ)=99(κ-10χ-ψ)
      Αρα: 99/(10χ+ψ+5ζ)
      Αλλα μεγιστο (10χ+ψ+5ζ)=10*9+9+5*9=144>99κ αρα κ=1 συνεπως:
      10χ+ψ+5ζ=99 (1)
      Η μικροτερη τιμη του χ για την οποια απο την (1) προκυπτουν ψ,ζ μικροτεροι του 10 ειναι χ=5
      οποτε (ψ,ζ)=(9,8) και (ψ,ζ)=(4,9). Διαλεγουμε το ζευγος με το μικροτερο ψ, το (ψ,ζ)=(4,9).
      Αρα ο Α=χψζψχ=54945.

  5. voulagx Απάντηση

    Προσπαθωντας να διατηρησω τον δικο σου συμβολισμο τα εκανα ελαφρως θαλασσα, σορρυ.
    Ανακοινοποιηση:

    Έστω: Α=α*10^4+β*10^3+γ*10^2+β*10+α ο ζητούμενος αριθμός.
    Αφού: 99/10*10-1=99 και: 99/Α, σύμφωνα με το θεώρημα του K. Conrad θα πρέπει:
    (α*10^3+β*10^2+γ*10+β)+10*α=99*κ, κΕΝ
    1010*α+101*β+10*γ=99*κ
    990*α+20*α+99*β+2*β+10*γ=99*κ
    99*(10*α+β)+(20*α+2*β+10*γ)=99*κ
    99*(10*α+β)+2*(10*α+β+5*γ)=99*κ
    άρα: 99/(10*α+β+5*γ)
    Έστω: 10*α+β+5*γ=99*λ (1)
    Η μέγιστη τιμή του (10*α+β+5*γ) είναι: 10*9+9+5*9=144>99*λ =>
    144/99=1,45>λ => λ=1 οπότε η (1) γίνεται:
    10*α+β+5*γ=99
    5*(2*α+γ)=99-β=95+4-β
    2*α+γ=19+(4-β)/5
    Για να είναι ο (4-β)/5 φυσικός πρέπει: 1) β=4 ή 2) β=9
    1) Αν: β=4 τότε: 2*α+γ=19 => γ=19-2*α
    2) Αν: β=9 τότε: 2*α+γ=18 => γ=18-2*α
    Αλλά είναι: 10>γ=19-2*α>18-2*α => 2*α>19-10=9 =>α>4,5
    άρα η ελάχιστη τιμή του α είναι: α=5
    Η ελάχιστη τιμή του β είναι: β=4 οπότε: γ=19-2*α=19-2*5=19-10=9
    Ώστε ο ζητούμενος αριθμός είναι: Α=54945

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *