Ο γρίφος της ημέρας – “Πόσοι Είναι; ” (για δυνατούς λύτες)

Ένα πρωί, καθώς έκανα μια βόλτα στο πάρκο, είδα ανθρώπους, σκύλους και γάτες.

  • Οι σκύλοι ήταν περισσότεροι από τους ανθρώπους.

  • Οι άνθρωποι και οι σκύλοι μαζί είχαν 100πόδια και κεφάλια.

  • Ο συνολικός αριθμός ανθρώπων και σκύλων ήταν τριπλάσιος από τον αριθμό των γατών.

Πόσοι άνθρωποι, πόσοι σκύλοι και πόσες γάτες βρίσκονταν στο πάρκο;

Προτάθηκε από Carlo de Grandi

6 σχόλια

  1. Μάνος Κοθρής Απάντηση

    Έστω α οι άνθρωποι, σ οι σκύλοι και γ οι γάτες.
    2α + 4σ = 100
    α + σ = 3γ

    Άρα σ = 50 – 3γ
    Και τελικά
    23 σκύλοι, 4 άνθρωποι και 9 γάτες ή
    20 σκύλοι, 10 άνθρωποι κσι 10 γάτες ή
    17 σκύλοι, 16 άνθρωποι και 11 γάτες.

    • Μάνος Κοθρής

      Αποκεφάλισα σκύλους και ανθρώπους 😀

  2. ΚΔ Απάντηση

    Αν x οι σκύλοι, y οι άνθρωποι, w οι γάτες, ισχύουν x>y, 5x+3y=100 (1), x+y=3w (2). (20,0) μία λύση της (1) και (x,y)=(20+3t,-5t), t ακέραιος η μορφή των λύσεών της. Από x>y βγαίνει t>-2,5 και από y>0 ότι t<0, άρα t=-1,-2. Tελικά (x,y)=(14,10), (17,5) με τη 2η να απορρίπτεται γιατί από τη (2) πρέπει x+y πολλ. 3. Άρα x=14, y=10, w=8.

  3. Carlo de Grandi Απάντηση

    Η Λύση:
    Στο πάρκο βρίσκονταν 10 άνθρωποι, 14 σκύλοι και 8 γάτες. Έστω «Α» οι άνθρωποι, «Σ» οι σκύλοι και «Γ» οι γάτες.
    Πόδια και κεφάλια ανθρώπων και σκύλων υπολογίζονται ως εξής:
    Άνθρωπος = Ένα κεφάλι και Δύο πόδια= 3 μονάδες
    Σκύλος = Ένα κεφάλι και Τέσσερα πόδια = 5 μονάδες.
    Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
    Σ > Γ (1)
    3*Α+5*Σ=100 (2)
    3*Γ=Α+Σ (3)
    Από τη (2) συνάγουμε ότι:
    3*Α+5*Σ=100 —-> 3*Α =100-5*Σ —-> Α = (100-5*Σ)/3 (4)
    Διερεύνηση:
    Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο “Σ” τις τιμές από το 1 έως το n, βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό “Α” είναι οι αριθμοί Σ = 2, 5, 8, 11, 14, και 17 (5)
    Αντικαθιστούμε τις τιμές του «Σ» στη (4) κι’ έχουμε:
    (α) Για Σ=2
    Α = (100-5*Σ)/3 —-> Α=(100-5*2)/3 —-> Α=(100-10)/3 —–> Α=90/3 —->
    Α=30 (6)
    Απορρίπτεται, διότι το άθροισμα της (3) δεν διαιρείται με το 3 και δεν συμφωνεί με την (1), διότι το Σ είναι μικρότερο του Γ, άτοπο.
    (β) Για Σ=5
    Α = (100-5*Σ)/3 —-> Α=(100-5*5)/3 —-> Α=(100-25)/3 —–> Α=75/3 —->
    Α=25 (7)
    Απορρίπτεται, διότι το άθροισμα της (3) διαιρείται με το 3, αλλά δεν συμφωνεί με την (1), διότι το Σ είναι μικρότερο του Γ, άτοπο.
    (γ) Για Σ=8
    Α = (100-5*Σ)/3 —-> Α=(100-5*8)/3 —-> Α=(100-40)/3 —–> Α=60/3 —->
    Α=20 (8)
    Απορρίπτεται, διότι το άθροισμα της (3) δεν διαιρείται με το 3 και δεν συμφωνεί με την (1), διότι το Σ είναι ίσο το Γ, άτοπο.
    (δ) Για Σ=11
    Α = (100-5*Σ)/3 —-> Α=(100-5*11)/3 —-> Α=(100-55)/3 —–> Α=45/3 —->
    Α=15 (9)
    Απορρίπτεται, διότι το άθροισμα της (3) δεν διαιρείται με το 3, αλλά συμφωνεί με την (1).
    (ε) Για Σ=14
    Α = (100-5*Σ)/3 —-> Α=(100-5*14)/3 —-> Α=(100-70)/3 —–> Α=30/3 —->
    Α=10 (10)
    Αποδεκτή, διότι το άθροισμα της (3) διαιρείται με το 3 και συμφωνεί με την (1).
    (στ) Για Σ=17
    Α = (100-5*Σ)/3 —-> Α=(100-5*17)/3 —-> Α=(100-85)/3 —–> Α=15/3 —->
    Α=3 (11)
    Απορρίπτεται, διότι το άθροισμα της (3) δεν διαιρείται με το 3, αλλά συμφωνεί με την (1) άτοπο.
    Αντικαθιστούμε τις τιμές (5) και (10) στη (3) κι’ έχουμε:
    3*Γ=Α+Σ —-> 3*Γ=10+14 —-> 3*Γ=24 —-> Γ=24/3 —–> Γ= 8 (12)
    Επαλήθευση:
    Σ > Γ —-> 14 > 8
    3*Α+5*Σ=100 —–> 3*10+5*14=100 —-> 30+70=100
    3*Γ=Α+Σ —-> 3*8=10+14 —-> 3*8=24 ο.ε.δ.
    Πηγή: Περιοδικό Α’ Ευκλείδης τεύχος 74 στη στήλη «τα μαθηματικά μας διασκεδάζουν»
    http://www.kiosterakis.gr/plus/diaskedastika/grifoi/141-mia-volta-sto-parko
    Λύση (pdf)…

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *