Ο γρίφος της ημέρας – “Να βρείτε τον αριθμό ” (για δυνατούς λύτες)

Ένας θετικός ακέραιος αριθμός είναι γνωστό ότι τα δυο πρώτα ψηφία του από αριστερά είναι το 15 δηλαδή έχει την μορφή 15__ __ __ __…..
Αν τον πολλαπλασιάσουμε με το 5,τα δυο ψηφία αριστερά (15) μεταφέρονται στο τέλος δηλαδή ο αριθμός γίνεται ….__ __ __ __15.

Να βρείτε τον αριθμό.

Το πλήθος των ψηφίων του αριθμού δεν υπερβαίνει τα 29.

Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα

12 σχόλια

  1. Θανάσης Παπαδημητρίου Απάντηση

    Δυο λόγια για το πώς βρίσκουμε τον ζητούμενο αριθμό:
    Αν ο μετά από το 15 αριθμός είναι ο Α και έχει ν ψηφία, τότε η αξία του αρχικού αριθμού είναι 15*10^ν+Α, η αξία του τελικού αριθμού είναι 100*Α+15 και ισχύει:
    5*(15*10^ν+Α) = 100*Α+15 =>
    19*Α = 15*10^ν – 3 =>
    Α = (15*10^ν – 3) / 19
    Επομένως ο αριθμός Α είναι το πηλίκο μιας τέλειας διαίρεσης ενός αριθμού της μορφής 1499…997 με το 19. Μπορούμε να βρούμε αυτό το πηλίκο (και τον αντίστοιχο διαιρετέο) κάνοντας τη διαίρεση με την κλασική σχολική μέθοδο, ξεκινώντας από διαιρετέο 149…, προσθέτοντας σ’ αυτόν και κατεβάζοντας πλάι στο εκάστοτε υπόλοιπο ψηφία 9 μέχρι να εμφανιστεί υπόλοιπο 5, οπότε προσθέτουμε στον διαιρετέο το τελικό ψηφίο 7, αφού 57:19=3. Έτσι βρίσκουμε Α = 7894736842105263 και βάζοντας μπροστά του το 15 έχουμε τον ζητούμενο 157.894.736.842.105.263.
    Επαλήθευση:
    157.894.736.842.105.263
    Χ 5
    789.473.684.210.526.315

  2. Δρούγας Θ. Απάντηση

    Άψογοι και οι δυο σας.
    Για την ιστορία είναι παλιό πρόβλημα από τo εξαιρετικό βιβλίο του C.W Trigg, “Mathematical Quickies: 270 Stimulating Problems with Solutions”.Η λύση που δίνει είναι «τέχνασμα από ψηλά».
    Έστω 15χ1χ2….χκ,ο ζητούμενος αριθμός,τότε,θεωρούμε τον περιοδικό δεκαδικό αριθμό
    0,15χ1χ2….χκ15χ1χ2….χκ…με περίοδο το ζητούμενο αριθμό, μπορεί να γράφει σαν ανάγωγο κλάσμα μ/ν
    μ/ν=0,15χ1χ2….χκ15χ1χ2….χκ……. από υπόθεση 5(μ/ν)= 0,χ1χ2….χκ15χ1χ2….χκ15…….και
    100(μ/ν)= 15,χ1χ2….χκ15χ1χ2….χκ15…….ή
    100(μ/ν)= 15+0,χ1χ2….χκ15χ1χ2….χκ15…….ή
    100(μ/ν)= 15+5(μ/ν) ή
    95(μ/ν)= 15 ή (μ/ν)= 15/95 ή μ/ν= 3/19
    Εκτελούμε την διαίρεση 3/19 με την βοήθεια του wolfram alpha
    η περίοδος 157894736842105263 του αριθμού είναι το ζητούμενo,πραγματικά

  3. Θανάσης Παπαδημητρίου Απάντηση

    Εξαιρετικό πρόβλημα και straight from the book (όπως το εννοούσε ο Έρντος😊) η λύση που μας παρουσίασες, αγαπητέ Θανάση!
    Με την ευκαιρία αυτή, έχεις τα ταπεινά μου, αλλά θερμότατα, συγχαρητήρια για τη σπουδαία δουλειά σου με τους μαθηματικούς γρίφους.

    • Δρούγας Θ.

      Ευχαριστώ, να είσαι καλά

  4. Μάνος Κοθρής Απάντηση

    συμπληρωματικά αναφέρω ότι υπάρχουν άπειροι τέτοιοι αριθμοί
    157894736842105263
    157894736842105263157894736842105263
    157894736842105263157894736842105263157894736842105263
    κ.ο.κ.
    Γι’ αυτό είναι αναγκαίο το δεδομένο ότι το πλήθος των ψηφίων είναι μικρότερο του 29

  5. Μάνος Κοθρής Απάντηση

    Παραλλαγή 1 του γρίφου
    “Ένας θετικός ακέραιος αριθμός είναι γνωστό ότι τα δυο πρώτα ψηφία του από αριστερά είναι το 10 δηλαδή έχει την μορφή 10__ __ __ __…..
    Αν τον πολλαπλασιάσουμε με το 5,τα δυο ψηφία αριστερά (10) μεταφέρονται στο τέλος δηλαδή ο αριθμός γίνεται ….__ __ __ __10.
    Να βρείτε τον αριθμό.
    Το πλήθος των ψηφίων του αριθμού δεν υπερβαίνει τα 29.”

    Παραλλαγή 2 του γρίφου
    “Ένας θετικός ακέραιος αριθμός είναι γνωστό ότι αν τον πολλαπλασιάσουμε με το 2,το τελευταίο ψηφίο δεξιά μεταφέρεται στην αρχή.
    Να βρείτε τους αριθμούς.
    Το πλήθος των ψηφίων του αριθμού δεν υπερβαίνει τα 29.”

  6. Θανάσης Παπαδημητρίου Απάντηση

    Ακόμα μία παραλλαγή:
    Βρείτε τρεις θετικούς ακέραιους αριθμούς Α, Β, Γ τέτοιους ώστε
    αν μετακινήσουμε το πρώτο ψηφίο του Α στο τέλος παίρνουμε τον Β που είναι ο μισός του Α, ενώ αν μετακινήσουμε το πρώτο ψηφίο του Β στο τέλος παίρνουμε τον Γ που είναι ο μισός του Β.

  7. Θανάσης Παπαδημητρίου Απάντηση

    Απαντώ στην παραλλαγή 1 που πρότεινε ο Μάνος:
    105263157894736842 × 5 =
    526315789473684210
    Ή απάντησή μου στην παραλλαγή 2 του Μάνου είναι ο αριθμός Β της παραλλαγής που πρότεινα ο ίδιος😊.

  8. Θανάσης Παπαδημητρίου Απάντηση

    Έχουμε αφήσει εδώ μια μικρή εκκρεμότητα, αλλά δε βλέπω να υπάρχει κανείς πρόθυμος να την κλείσει😊. Απαντώ λοιπόν στην παραλλαγή που πρότεινα πιο πάνω ο ίδιος (και στην παραλλαγή 2 που πρότεινε ο Μάνος):
    Α = 210526315789473684
    Β = 105263157894736842
    Γ = 52631578947368421

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *