Ο γρίφος της ημέρας – “Οι Στρατιώτες” (για δυνατούς λύτες)

‘Ένας στρατηγός ἤθελε νὰ κατατάξῃ τὸ σῶμά του εἰς τετράγωνον καὶ τὸ ἐδοκίμασε κατὰ δύο τρόπους:

-Τὴν πρώτην φορὰν του ἔμειναν 39 περισσότεροι·

-Τὴν δευτέραν ὅμως φορὰν, ἐπειδὴ ηὔξησε τὴν πλευρὰν τοῦ τετραγώνου κατ’ ἕνα

ἄνδρα, του ἔλλειπαν 50 στρατιῶται πρὸς ἀποπλήρωσιν τοῦ τετραγώνου.

̓Απὸ πόσους συνίστατο τὸ σῶμά του;

 

 

Διευκρίνιση:

Σ. Σούτσου και Α. Ρίζου Ραγκαβή, Συλλογή προβλημάτων, τόμος Ι, Βασιλική τυπογραφία,Αθήνα, 1836, Πρόβλημα 204, σελίς 214.

 

 

 

 

Προτάθηκε από Carlo de Grandi

Attachments

2 Comments

  1. Το σώμα του είχε 1975 στρατιώτες.

    Ψάχνουμε για δύο τετράγωνα διαδοχικών ακεραίων που διαφέρουν κατά 39+50=89.

    (x+1)^2 -x^2 = 89
    x^2 + 2x + 1 – x^2 = 89
    2x + 1 = 89
    2x = 88
    x = 44

    Άρα το σώμα του είχε :
    44^2 + 39 = 1936 + 39 = 1975 ή
    45^2 – 50 = 2025 – 50 = 1975

  2. Ο στρατηγός έχει στο σώμα του 1.975 στρατιώτες. Έστω «x»οι άντρες που έχει ο στρατηγός στο σώμα του, «α» οι άντρες που αντιστοιχούν στην πλευρά του πρώτου τετραγώνου και «β» οι άντρες που σχηματίζουν την πλευρά του δεύτερου τετραγώνου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
    x=α2+39 (1)
    x=β2−50 (2)
    Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε:
    x = α2+39 —> β2−50 = α2+39 —> β2-α2=39+50 —-> β2-α2=89 —>
    (β-α)*(β+α)=89
    Όμως η πλευρά του δεύτερου τετραγώνου είναι μεγαλύτερη κατά έναν άντρα, δηλαδή
    (β−α)=1.
    Οπότε:
    α = 44 και β = 45
    Επαλήθευση:
    x = α2+39 —> x=442+39 —> x=1.936+39 —> x=1.975
    x = β2−50 —> x=452-50 —> x= 2.025-50 —> x=1.975 ο.ε.δ.

Leave a Reply

Your email address will not be published.


*