Ο γρίφος της ημέρας – “Ο Έμπορος” (για δυνατούς λύτες)

’’Εμπορος ἠγόρασεν ἵππους καὶ βόας μαζῆ διὰ 1.770 τάλαντα καὶ ἐπλήρωσε δι’ ἕκαστον ἵππον 31 τάλαντα καὶ δι’ ἕκαστον βοὺν 21 τάλαντα.

Πὸσους ἵππους καὶ βόας ἠγόρασεν ;

Διευκρίνιση:

Σ. Σούτσου και Α. Ρίζου Ραγκαβή, Συλλογή προβλημάτων, τόμος Ι, Βασιλική τυπογραφία, Αθήνα, 1836, Πρόβλημα 24, σελίς 281.

Προτάθηκε από Carlo de Grandi

Attachments

5 Comments

  1. Kώστα καλημέρα και καλή εβδομάδα.
    Από τους 21 γρίφους που σου έστειλα χθες, διέγραψε τον 21ο, διότι αναρτήθηκε σήμερα.
    Επίσης στο σημερινό γράψε:
    “Προτάθηκε από Carlo de Grandi”
    Φιλικά,
    Carlo

  2. Έστω α ο αριθμός των ίππων και β ο αριθμός των βοών.
    Ισχύουν : 31*α + 21*β = 1770 και 0 < α < 58 και 0 < β < 85.

    31α + 21β = 1770
    31α + 31β – 10β = 1767 + 3
    31α + 31β – 1767 = 10β + 3
    31*(α + β – 57) = 10β + 3

    Ο αριθμός (10β+3) έχει ψηφίο μονάδων το 3, είναι πολλαπλάσιο του 31 και είναι μικρότερος του 853.
    Οι μοναδικοί τρεις αριθμοί που ικανοποιούν τα παραπάνω είναι οι 93, 403 και 713.

    Άρα 10β + 3 = 93 ή 10β + 3 = 403 ή 10β + 3 = 713
    10β = 90 ή 10β = 400 ή 10β = 710
    β = 9 ή β = 40 ή β = 71

    Αν β = 9, τότε α = 51, επομένως αγόρασε 51 ίππους και 9 βόες
    Αν β = 40, τότε α = 30, επομένως αγόρασε 30 ίππους και 40 βόες
    Αν β = 71, τότε α = 9, επομένως αγόρασε 9 ίππους και 71 βόες

  3. Το πρόβλημα έχει τρεις λύσεις:
    Λύση Ίπποι Βόδια
    1η 9 71
    2η 30 40
    3η 51 9
    Έστω «x» οι Ίπποι, και «y» τα βόδια. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
    31x+21y=1.770 (1)
    31x+21y=1.770 —> 31x=1.770-21y —-> x=(1.770-21y)/31 (2)
    Διερεύνηση:
    Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση
    των ακέραιων ριζών. Η τιμή του “y” πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίνοντας στο «y» τις τιμές από το 1 έως το «n», με δοκιμές βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που ικανοποιούν τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό «x» είναι: y=71, 40, και 9 (4)
    Αντικαθιστούμε τη τιμή του “y” στη (2) κι’ έχουμε:
    (α) x=(1.770-21y)/31 —> x=[1.770-(21*71)]/31 —-> x=(1.770- 1.491)/31 —>
    x=279/31 —> x=9
    (β) x=(1.770-21y)/31 —-> x=[1.770-(21*40)]/31 —-> x=(1.770- 840)/31 —->
    x=930/31 —-> x=30
    (γ) x=(1.770-21y)/31 —-> x=[1.770-(21*9)]/31 —-> x=(1.770-189)/31 —–>
    x= 1.581/31 —-> x=51
    Επαλήθευση:
    (α)31x+21y=1.770 —-> [(31*9)+(21*71)]=1.770 —-> 279+1.491=1.770
    (β)31x+21y=1.770 —-> [(31*30)+(21*40)]=1.770 —–> 930+840=1.770
    (γ)31x+21y=1.770 —-> [(31*51)+(21*9)]=1.770 —–> 1.581+189=1.770 ο.ε.δ.

  4. Συμπληρωματική Λύση του Voulagx.
    Συμπληρωματικα στην ωραια λυση του κ.Κοθρη.
    Έστω α ο αριθμός των ίππων και β ο αριθμός των βοών.
    Ισχύουν : 31*α + 21*β = 1770 και 0 < α < 58 και 0 < β < 85.
    31α + 21β = 1770 (1)
    31α + 31β – 10β = 1767 + 3
    31α + 31β – 1767 = 10β + 3
    31*(α + β – 57) = 10β + 3 (2)
    Απο την σχεση (2) , εφαρμοζοντας το θεωρημα του K. Conrad, εχουμε:
    31/10β+3 31/β+(-3)*3=β-9 ( αφου: 31/10*(-3)-1=-31 )
    Εστω: 31λ=β-9 => 0 -9<31λ -9/31
    α=1581/31-21λ=> α=51-21λ
    Ωστε: α=51-21λ και: β=31λ+9, με λΕ{0,1,2}.
    Για λ=0: α=51-21*0=51, β=31*0+9=9
    Για λ=1: α=51-21*1=30, β=31*1+9=40
    Για λ=2: α=51-21*2=9, β=31*2+9=71
    ΥΓ: Το θεωρημα του K. Conrad στη σελιδα 14 του λινκ (Θεώρημα 4.6.):
    http://users.uoi.gr/abeligia/NumberTheory/NT2014/NT_TheoreticalTopics2014.pdf

  5. Λόγω του ότι υπήρξε πρόβλημα στην αντιγραφή αναρτώ εκ νέου τη λύση του Voulagx.
    Συμπληρωματική Λύση του Voulagx.
    Συμπληρωματικα στην ωραια λυση του κ.Κοθρη
    Έστω α ο αριθμός των ίππων και β ο αριθμός των βοών.
    Ισχύουν : 31*α + 21*β = 1770 και 0 < α < 58 και 0 < β < 85.
    31α + 21β = 1770 (1)
    31α + 31β – 10β = 1767 + 3
    31α + 31β – 1767 = 10β + 3
    31*(α + β – 57) = 10β + 3 (2)
    Απο την σχεση (2) , εφαρμοζοντας το θεωρημα του K. Conrad, εχουμε:
    31/10β+3 31/β+(-3)*3=β-9 ( αφου: 31/10*(-3)-1=-31 )
    Εστω: 31λ=β-9 . Τοτε:
    0<β=31λ+9<85
    -9<31λ<76
    -9/31<λ<76/31=2,45..
    άρα λΕ{0,1,2}.
    Αντικαθιστωντας το: β=31λ+9 στην (1) εχουμε:
    31α=1770-21β=1770-21*(31λ+9)=1770-21*31λ-21*9=1581-21*31λ
    α=1581/31-21λ
    α=51-21λ
    Ωστε: α=51-21λ και: β=31λ+9, με λΕ{0,1,2}.
    Για λ=0: α=51-21*0=51, β=31*0+9=9
    Για λ=1: α=51-21*1=30, β=31*1+9=40
    Για λ=2: α=51-21*2=9, β=31*2+9=71
    ΥΓ: Το θεωρημα του K. Conrad στη σελιδα 14 του λινκ (Θεώρημα 4.6.):
    http://users.uoi.gr/abeligia/NumberTheory/NT2014/NT_TheoreticalTopics2014.pdf

Leave a Reply

Your email address will not be published.


*