Ο γρίφος της ημέρας – “Το ισοσκελές τρίγωνο ” (για πολύ δυνατούς λύτες)

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο  με καθεμία από τις ίσες πλευρές να είναι ίση με 1 cm.

Να βρεθεί το μήκος της τρίτης πλευράς (χωρίς τη χρήση συναρτήσεων) έτσι ώστε το εμβαδό να είναι μέγιστο δυνατό.

 

Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα

6 σχόλια

  1. Μάνος Κοθρής Απάντηση

    Έστω 2x η βάση και y το ύψος που αντιστοιχεί στη βάση αυτή.
    Εμβαδόν αρχικού τριγώνου = E = xy
    Πυθαγόρειο θεώρημα σε ένα από τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται : x^2+y^2=1

    Είναι (x-y)^2 >= 0
    x^2 + y^2 – 2xy >= 0
    1 – 2E >= 0
    E <= 1/2

    Ελάχιστο εμβαδόν = 1/2, όταν το αρχικό τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές.
    Με Πυθαγόρειο θεώρημα βρίσκουμε ότι η τρίτη πλευρά είναι ρίζα(2)

  2. Θανάσης Παπαδημητρίου Απάντηση

    Μια αμιγώς γεωμετρική προσέγγιση θα μπορούσε να είναι η εξής:
    Αν ΑΒ και ΑΓ είναι οι δύο πλευρές μήκους 1, τότε θεωρώντας την ΑΒ ως σταθερή βάση του τριγώνου και περιστρέφοντας την ΑΓ γύρω από την κορυφή Α, εύκολα διαπιστώνουμε ότι η απόσταση της κορυφής Γ από την πλευρά ΑΒ, δηλαδή το ύψος του τριγώνου, μεγιστοποιείται όταν η ΑΓ γίνεται κάθετη στην ΑΒ. Επομένως το μέγιστο εμβαδό αντιστοιχεί σε μήκος πλευράς ΒΓ ίσο με ρίζα(1^2+1^2)=ρίζα2.

  3. Δρούγας Θ. Απάντηση

    Άψογοι και οι δύο.Το βρήκα στο Wheels, Life and Other Mathematical Amusements του Martin Gardner όταν έψαχνα υλικό για προβλήματα ακροτάτων στην Γ λυκείου.Στο σχολείο το τερματίζουμε με την ανάλυση. Το αστείο είναι ότι όλα τα γεωμετρικά προβλήματα ακροτάτων του σχολικού στην Γ λυκείου λύνονται χωρίς παράγωγο.

  4. Θανάσης Παπαδημητρίου Απάντηση

    Να ‘σαι καλά ΘΑΝΑΣΗ.
    Ας μου επιτραπεί να συμπληρώσω μόνο ότι και η ανισότητα α^2+β^2>ή=2αβ που χρησιμοποίησε ο Μάνος (πρόκειται στην ουσία για την ανισότητα αριθμητικού και γεωμετρικού μέσου) είναι πολύ χρήσιμη και σε προβλήματα αναζήτησης ακροτάτων σε συναρτήσεις ακέραιων μεταβλητών, όπου η χρήση διαφορικού λογισμού, λόγω ασυνέχειας, δεν είναι μαθηματικά δόκιμη.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *