Ένα πρόβληµα από το βιβλίο του Αλί Νταρ Νασάθ , Προβλήµατα για δύσκολες ώρες.
“Οι 10 παίκτες της ποδοσφαιρικής οµάδας ο «Πύραυλος» δεν έχουν καµιά ελπίδα να κερδίσουν το πρωτάθληµα , έτσι , αντί να προπονούνται παίζουν το εξής παιχνίδι:
Σχηµατίζουν ένα κύκλο ο καθένας τους σκέπτεται έναν αριθµό. Με το παράγγελµα του τερµατοφύλακα ο κάθε παίκτης ψιθυρίζει τον αριθµό που σκέφτηκε στους δυο παίκτες εκατέρωθεν του. Έτσι ο καθένας από τους 10 παίκτες άκουσε δυο αριθµούς ,κατόπιν υπολογίζει νοερά τον µέσο όρο τους. Με το δεύτερο παράγγελµα του τερµατοφύλακα οι 10 παίκτες ένας-ένας , ανακοινώνουν διαδοχικά (ακολουθώντας την φορά του κύκλου) ο καθένας τον µέσο όρο του. Για την ακρίβεια οι αριθµοί που ειπώθηκαν από τους παίκτες στην σειρά ήταν: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10. Ο ποδοσφαιριστής Χασογκόλης ανακοίνωσε τον αριθµό 6.
Ποιος ήταν ο αριθµός που σκέφτηκε αρχικά;”
(Προφανώς και δεν έχει σηµασία ποιος θα από τους δέκα ποδοσφαιριστές θα ξεκινήσει πρώτος να ανακοινώνει το µέσο όρο του ούτε αν οι ανακοινώσεις γίνουν αριστερόστροφα ή δεξιόστροφα).
Πηγή: Μαθη..Μαγικοί Γρίφοι
Ο χασογκόλης σκέφτηκε το 1
Έστω α1, α2 , α3 , … α10 οι αριθμοί που σκέφτηκαν οι 10 παίκτες
Ο χασογκόλης είπε 6 (τον 6ο αριθμό) άρα σκέφτηκε το α6
Ισχύουν οι ισότητες
α10 + α2 = 2
α1 + α3 = 4
α2 + α4 = 6
α3 + α5 = 8
α4 + α6 = 10
α5 + α7 = 12
α6 + α8 = 14
α7 + α9 = 16
α8 + α10 = 18
α9 + α1 = 20
Αν λύσουμε το σύστημα της 1ης, 3ης, 5ης, 7ης και 9ης εξίσωσης βρίσκουμε α6 = 1
Παρατήρηση
Αν λύσουμε όλο το σύστημα βρίσκουμε ότι οι ποδοσφαιριστές είπαν διαδοχικά :
6 , -3 , -2 , 9 , 10 , 1 , 2 , 13 , 14 , 5
χ->ο αριθμός του χασογκόλη
π->ο αριθμός του προηγούμενου του χασογκόλη
ε->ο αριθμός του επόμενου του χασογκόλη
και από εκφώνηση έχουμε 3 εξισώσεις:
(χ+π)/2=5
(χ+ε)/2=7
(ε+π)/2=6
….από την επίλυση του συστήματος προκύπτει χ=7,5