Δύο έμποροι μεταβαίνουν μαζί στην αγορά, εκεί συναντούν έναν σαράφη που πουλούσε ένα σμαράγδι προς 10.000 χρυσά νομίσματα. Ο καθένας από τους δύο εμπόρους μέτρησε τα χρήματα που είχε. Και οι δύο διαπίστωσαν ότι τα χρήματα που είχαν δεν επαρκούσαν για την αγορά του σμαραγδιού.
Ο πρώτος λέει στο δεύτερο:
-«Δάνεισε μου το 1/5 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»
Ο δεύτερος τότε του λέει:
-«Όχι, δάνεισε μου εσύ το 1/7 των χρημάτων σου, οπότε με τα χρήματα που έχω στο πορτοφόλι μου θα μπορέσω ν’ αγοράσω το σμαράγδι.»
Ζητείται το ποσό των χρημάτων που είχε έκαστος έμπορος στο πορτοφόλι του.
*Πρόβλημα του Νικόλαου Αρταβάσδου του Σμυρναίου, γνωστός ως Ραβδάς, από το έργο του «Δεύτερη των Επιστολών», που γράφτηκε το 1341.
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
ο αριθμός των νομισμάτων κάθε έμπορα είναι ακέραιος;
@Μάνος Κοθρής
Μάνο όχι, ο αριθμός των νομισμάτων του κάθε έμπορα δεν είναι ακέραιος, αλλά δεκαδικός.
8.235,29 o A και 8.823,53 ο Β
Έστω x τα χρήματα που έχει ο Α και y τα χρήματα που έχει ο Β.
Προκύπτουν οι εξισώσεις :
x + y/5 = 10.000
x/7 + y = 10.000
Επιλύοντας το σύστημα βρίσκουμε x = 8.235,29 και y = 8.823,53.
Αν κάθε έμπορος είχε ακέραιο αριθμό νομισμάτων, τότε:
ο Α θα είχε οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του 7, από το 8.239 ως το 9.996
ο Β θα είχε οποιοδήποτε πολλαπλάσιο του 5, από το 8.825 ως το 9.995
Ο πρώτος έμπορος είχε 8.235,29 χρυσά νομίσματα και ο δεύτερος είχε 8.823,53 χρυσά νομίσματα. Έστω «x» τα χρυσά νομίσματα του πρώτου εμπόρου και «y» τα χρυσά νομίσματα του δευτέρου εμπόρου. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
x+(y/5)=10,000 (1)
y+(x/7)=10.000 (2)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
x+(y/5)=10,000 —> 5x+y=5*10.000 —-> 5x+y=50.000 (3)
Από την (2) συνάγουμε ότι:
y+(x/7)=10.000 —> 7y+x=7*10.000 —> 7y+x=70.000 (4)
Από τη (4) συνάγουμε ότι:
7y+x=70.000 —-> x=70.000-7y (5)
Αντικαθιστούμε τη (5) στη (3) κι’ έχουμε:
5x+y=50.000 —> 5*(70.000-7y)+y=50.000 —-> 350.000-35y+y=50.000 —->
34y=350.000-50.000 —> 34y=300.000 —-> y=300.000/34 —-> y=8.823,53 (6)
Αντικαθιστούμε την (6) στη (5) κι’ έχουμε:
x=70.000-7y —> x=70.000-7*8.823,53 —> x=70.000-61764,71 —> x=8.235,29(7)
Επαλήθευση:
x+(y/5)=10,000 —-> 8.235,29+(8.823,53/5)=10.000 —> 8.235,29+1.764,71=10.000
y+(x/7)=10.000 —> 8.823,53+(8.235,29/7)=10.000 —> 8.823,53+1.176,47=10.000