Ο γρίφος της ημέρας – “Οι Άντρες” (για πολύ δυνατούς λύτες)

...3

Ένας βασιλιάς διέταξε έναν αυλικό του να μαζέψει άντρες για το στρατό από 30 χωριά, ως εξής:

-«Από κάθε χωριό που θα φεύγεις θα παίρνεις τόσους άντρες , όσοι ήταν αυτοί που πήγαν. ∆ηλαδή, στο πρώτο χωριό που θα φτάσεις μόνο σου, φεύγοντας θα πάρεις μαζί σου άλλον ένα. Στο δεύτερο χωριό θα φτάσετε δύο άτομα, άρα φεύγοντας από το χωριό θα πάρεις  μαζί σου άλλους δύο, σύνολο 4 κ. ο. κ. ε.»

Πόσους άντρες συνολικά θα συγκεντρώσει  ο αυλικός από τα 30 χωριά που θα επισκεφθεί;

Σημείωση:

Από το έργο «Propositiones ad Acuendos Juvenes» – “Προβλήματα για να τροχίζουν το μυαλό των νέων”, του Albinus Flaccus Alcuin (735-804), πρόβλημα Νο.13

 

 

Προτάθηκε από Carlo de Grandi

3 σχόλια

  1. Μάνος Κοθρής

    Κάθε φορά που φεύγουν από το Ν χωριό, αποχωρούν 2^Ν άτομα.

    Φεύγοντας από το 30ο χωριό, θα αποχωρήσουν 2^30 = 1.073.741.824 άτομα
    δηλαδή ο αυλικός θα έχει συγκεντρώσει 1.073.741.823 στρατιώτες.

    Σημείωση
    Τα μαθηματικά είναι το μόνο μέρος που υπάρχει χωριό με τουλάχιστον 536.870.912 κατοίκους και κανείς δεν παραξενεύεται.

  2. Carlo de Grandi

    Λύση:
    Ο αυλικός από τα 30 χωριά θα συγκεντρώσει 1.073.741.823 άντρες. Βάσει του τύπου του αθροίσματος της γεωμετρικής προόδου Σn=[α*(ω^n-1)]/(ω-1) βρίσκουμε το σύνολο των 30 όρων της γεωμετρικής προόδου:
    Σn=[α*(ω^n-1)]/(ω-1)=[1*(2^(30)-1)]/2-1=[1*(2^(30)-1)]/1=[(1*1.073.741.824)-1]=
    1.073.741.824-1=1.073.741.823
    Στο 1ο χωρίο πήγε μόνος του και έφυγαν 2 άτομα =21.
    Στο 2ο χωριό πήγαν 2 άτομα και έφυγαν 4 άτομα = 22.
    Στο 3ο χωριό πήγαν 4 άτομα και έφυγαν 8 άτομα = 23.
    ………………….
    ………………….
    ………………….
    Στο 30ο χωριό πήγαν 536.870.912=229 άτομα και έφυγαν 1.073.741.824 άτομα=2^30.
    Από το 30ο χωριό θα φύγουν 1.073.741.824 άτομα. Ο αυλικός θα πάει στον
    βασιλιά του: (2^ν-1)=[(2^30)-1)]=(1.073.741.824-1)=1.073.741.823 άντρες.

Απάντηση