Σε μία τάξη του Γυμνασίου, όλα οι μαθητές αποφάσισαν να μαζέψουν χρήματα για να πάρουν δώρο στον αγαπημένο τους καθηγητή, που θα έβγαινε στη σύνταξη, το κόστος του οποίου να είναι πάνω από 200 € και κάτω από 250 €.
Όταν τελικά τρεις μαθητές αποφάσισαν να μη βάλουν καθόλου χρήματα, οι υπόλοιποι χρειάστηκε να πληρώσουν 1 € επιπλέον.
Πόσοι είναι οι μαθητές της τάξης;
προτάθηκε από: Soulis
203
Και το 27 σωστό ειναι
Αν x ο αριθμός των μαθητών και ψ το ποσό που θα έβαζαν όλοι, από τα δεδομένα ισχύει η σχέση:
x ψ =(x – 3) (ψ + 1)
κάνοντας τις πράξεις στην παραπάνω σχέση οδηγούμαστε στο:
x – 3ψ = 3 ή x = 3ψ + 3 (1)
Ξέρουμε ότι 200 < xψ < 250
ή αντικαθιστώντας τη σχέση (1)
200 < (3ψ + 3) ψ < 250
200 < 3 (ψ + 1) ψ < 250
200 < 3ψ (ψ + 1) < 250
Ο ακέραιος αριθμός που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση (δεν μπορεί το ψ να είναι δεκαδικός, γιατί θα είναι και το x, δηλαδή ο αριθμός των μαθητών) είναι ο αριθμός ψ = 8.
Άρα οι μαθητές είναι x = 3ψ + 3 = 27
Αν πληρώνανε όλοι θα έδιναν από 8 ευρώ, δηλαδή 27 x 8 = 216 ευρώ.
Τώρα δίνουν οι 24 από 9 ευρώ : 24 x 9 = 216
Αν x οι μαθητές και y το κόστος του δώρου, ο κάθε μαθητής θα έβαζε y/x€. Τώρα x-3 μαθητές βάζουν από y/x+1€ ο καθένας και από την εξίσωση (x-3)(y/x+1)=y έχουμε y=(x^2-3x)/3 με 200<y<250 και x φυσικός. Από το σύστημα ανισώσεων προκύπτει x=27 ή 28, με αντίστοιχο κόστος δώρου 216 ή 233+1/3€.