Ο γρίφος της εβδομάδας – Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω..

1. Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων, οι τεταγμένες των κορυφών ενός τετραγώνου είναι 0, 1, 4 και 5.

Μπορείτε να βρείτε το εμβαδόν του;

2. Σε ένα ορθογώνιο στερεό και οι τρεις διαστάσεις του είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί  και η επιφάνειά του είναι ίση αριθμητικά με τον όγκο του.

Ποιο είναι το μέγιστο δυνατό άθροισμα των τριών διαστάσεων;

 

3. Η τομή ενός επιπέδου με έναν ορθό κύλινδρο ακτίνας βάσης 1 είναι μια έλλειψη της οποίας ο μεγάλος άξονας έχει μήκος 50% μεγαλύτερο από τον μικρό.

Ποιο είναι το εμβαδό της έλλειψης;

7 σχόλια

  1. Macgyver

    Για το πρώτο νομίζω είναι 16 το εμβαδόν. Μπορείτε να μου πείτε αν έχω δίκιο για να ανεβάσω την λύση μετά.

    Ευχαριστώ

  2. pantsik

    1. Αν α είναι η πλευρά του τετραγώνου και θ η κλίση του ως προς τον κάθετο άξονα, τότε από το σχήμα προκύπτει ότι sinθ=1/α και cosθ=4/α. Οπότε θ=atan(1/4), α= 4,123 και το εμβαδόν είναι 17 τετραγωνικές μονάδες.

    2. Αν α,β,γ οι διαστάσεις του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου, τότε η σχέση του προβλήματος είναι η:
    αβγ = 2αβ + 2αγ + 2βγ ==> 1/α + 1/β + 1/γ = 1/2
    Έστω πως α<=β<=γ. Για να επιτύχουμε το μέγιστο άθροισμα α+β+γ θα πρέπει να μεγιστοποιήσουμε το γ και αυτό θα γίνει αν ελαχιστοποιήσουμε τα α,β.
    Το ελάχιστο α είναι το 3, γιατί για α=2 έχουμε ήδη 1/α = 1/2. Αν α=3 τότε το ελάχιστο β είναι το 7, γιατί για β=6 έχουμε ήδη 1/α + 1/β = 1/2. Οπότε για α=3 και β=7 προκύπτει ότι γ=42. Το άθροισμα α+β+γ είναι το 52 που πρέπει να είναι το μέγιστο.

  3. Macgyver

    1.Νομίζω 16
    2.Νομίζω 52

  4. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Ευχαριστώ τους φίλους και μπράβο στον Πάνο για τις ολόσωστες και όμορφες αναλύσεις του!

    Αφήνω προς το παρόν την έλλειψη και δίνω μόνο μια ακόμα προσέγγιση του εμβαδού του τετραγώνου, χωρίς χρήση τριγωνομετρίας:

    Ας θεωρήσουμε ως κορυφές του τετραγώνου τα σημεία Α(χ1,0), Β(χ2,1), Γ(χ3,5) και Δ(χ4,4).

    Παρατηρούμε ότι η διαφορά των τεταγμένων των σημείων Β και Γ είναι 5-1=4. Η περιστροφική συμμετρία του τετραγώνου επιβάλλει τόση ακριβώς να είναι και η διαφορά των τετμημένων των σημείων Α και Β, άρα χ2-χ1=4. Αλλά γνωρίζουμε ήδη ότι η διαφορά τεταγμένων των σημείων Α και Β είναι ψ2-ψ1=1, επομένως το μήκος της πλευράς ΑΒ είναι: √(4^2+1^2) = √17 , συνεπώς το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 17.

  5. Macgyver

    Έχετε δίκιο για το τετράγωνο.Οντως 17 είναι το εμβαδόν του ξέχασα να προσθέσω την μονάδα.Στο δεύτερο πρόβλημα η λύση μου σε γενικές γραμμές είναι ίδια με αυτή του pantsik για αυτό να δώσω την λύση μου για το πρώτο.

    Εμβαδόν=(χ1-χ0)^2+1=(χ1-χ5)^2+16

    επίσης λόγω κάθετης τομής των πλευρών ισχύει για τις κλίσεις

    (4/(χ5-χ1))*(1/(χ1-χ0))=-1

    Για ευκολία στην γραφή έστω α=χ1-χ0
    και β=χ5-χ1

    Έχουμε δηλαδή
    αβ=-4 και α^2+1=β^2+16
    Λύνοντας το σύστημα παίρνουμε α^2=16

    Άρα Εμβαδόν=α^2+1=17

  6. pantsik

    3. Η μικρή ακτίνα της έλλειψης πρέπει να είναι ίση με την ακτίνα του κύκλου της βάσης, δηλαδή 1 και άρα η μεγάλη ακτίνα της έλλειψης είναι 1,5. Άρα το εμβαδόν την είναι 1,5π.

  7. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Άψογοι!

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *