Ο περίπατος ενός βουδιστή και το θεώρημα Bolzano

Σήμερα μια εφαρμογή του θεωρήματος Bolzano που έχει δημοσιευτεί πριν από αρκετά χρόνια στο περιοδικό Scientific American από τον Μάρτιν Γκάρντνερ. Ο Γκάρντνερ αναφέρει ως πηγή του προβλήματος την μονογραφία Ευρετική (Problem solving) ενός Γερμανού ψυχολόγου της σχολής Γκεστάλτ ονόματι Κ. Duncker.

Το πρόβλημα είναι κάπως έτσι:

Φανταστείτε ένα προσκυνητή μοναχό που το πρωί ξεκινά, από τους πρόποδες ενός βουνού από το σημείο Α και διανύει ένα πολύ στενό μονοπάτι που οδηγεί στην κορυφή του βουνού σε ένα ναό στο σημείο Β. Ο μοναχός κινείται με διαφορετικές ταχύτητες κατά την διάρκεια την ανάβασης, σταματά να ξεκουραστεί και να γευματίσει αρκετές φορές. Φτάνει στον ναό το βράδυ. Διανυκτερεύει και το πρωί την ίδια ώρα ξεκινά από το σημείο Β ακολουθεί ακριβώς την ίδια διαδρομή πάλι με αρκετές στάσεις για ξεκούραση και κατεβαίνει στο σημείο Α το βράδυ. Η ταχύτητα της κατάβασης κατά μέσο όρο είναι μεγαλύτερη από αυτή της ανάβασης. Είναι βέβαιο ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της διαδρομής στο οποίο ο μοναχός πέρασε ακριβώς την ίδια στιγμή (την ίδια ώρα) της ημέρας τόσο στην ανάβαση όσο και στην κατάβαση.

Ο Γκάρντνερ βγάζει λαγό από το καπέλο και προσεγγίζει το πρόβλημα διαισθητικά. Την στιγμή που ξεκινά την ανάβαση ο μοναχός από το σημείο Α. το φάντασμα του-ένα αντίγραφο του εαυτού του- ξεκινά από την κορυφή του βουνού την κατάβαση. Κάποια στιγμή ο μοναχός θα συναντούσε το φάντασμα του. Αυτή θα ήταν η ζητούμενη χρονική στιγμή. Είπαμε, σχολή Γκεστάλτ!

Μαθηματικά το αντιμετωπίζουμε ως εξής:

Έστω S(t) η συνάρτηση ανάβασης που δίνει την απόσταση που έχει διανύσει ο μοναχός από την αφετηρία Α την χρονική στιγμή t(o ≤ t ≤ T ,Τ  η ώρα άφιξης του μοναχού στο σημείο Β) και θεωρούμε Σ(t) την συνάρτηση κατάβασης που δίνει την απόσταση που απέχει ο μοναχός την χρονική στιγμή t από το σημείο A (ο ≤ t ≤ Τ’, και T’  η ώρα άφιξης του μοναχού στο σημείο Α). Λόγω της μικρότερης κατά μέσο όρο ταχύτητας στην κατάβαση θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι T’  ≤Τ .

Οι συναρτήσεις S. Σ είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους καθώς ο μοναχός δεν είναι δυνατό να διακτινιστεί από το ένα σημείο στο άλλο.

Θεωρούμε την συνάρτηση   h(t)=S(t)- Σ(t)        στο διάστημα [0,T’] (Το

χρονικό διάστημα, της κατάβασης).  Η h είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών στο [0,T’] και ισχύει:

h(0) = S(0) – Σ(0) = 0 – X = -X όπου X η απόσταση από το Α στο Β

h(T’) = S(Τ’)-Σ<(Τ’) = S(Τ’)-0 = S(T’),   h(0)h(T’) = h(Τ’)(-Χ)≤0

Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει χρονική στιγμή t0 με 0≤t0≤T’  τέτοια ώστε h(to)=0 ή S(tο)-Σ(tο)=0 ή S(t0)= Σ(t0) άρα την χρονική στιγμή t0 ο μοναχός περνά από το ίδιο σημείο τόσο στην ανάβαση όσο και στη κατάβαση.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *