Λέει η κυρία Ανθή στη φίλη της Ελένη:
-«Ο άντρας μου είναι μεγαλύτερος από μένα. Αντιστρέφοντας τα ψηφία που απαρτίζουν την ηλικία του βρίσκουμε τη δική μου ηλικία.
Η διαφορά ανάμεσα στις δύο ηλικίες μας είναι ακριβώς 1/11 του αθροίσματός τους.»
Ποιες είναι οι ηλικίες του ανδρόγυνου;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Έστω (xy)= 10x+y η ηλικία του άντρα της κ.Ανθής και (yx) = 10y+x η ηλικία της κ.Ανθής.
Η διαφορά των ηλικιών τους είναι (10x+y) – (10y+x) = 9x-9y
Το άθροισμα των ηλικιών τους είναι (10x+y) + (10y+x) = 11x+11y
Η διαφορά ανάμεσα στις δύο ηλικίες είναι ακριβώς 1/11 του αθροίσματός τους, άρα
9x-9y = (11x+11y)/11
9x-9y = x+y
8x = 10y
4x = 5y
και επειδή οι αριθμοί x,y είναι από 1 ως και 9
θα είναι x = 5 και y = 4
Επομένως η κ.Ανθή είναι 45 και ο άντρας της 54.
Εστω x το πρωτο ψηφιο της ηλικιας του αντρα της και y το δευτερο.
Τοτε 10x + y ειναι η ηλικια του αντρα της και 10y + x η ηληκια της κ. Ανθης.
Προφανως ισχυει x > y αφου ο αντρας της ειναι μεγαλυτερος x,y στο {0,…9}.
Απο τα δεδομενα εχουμε :
10x + y – 10y – x = ( 10x + y + 10y + x)/4 => ….. => y = 4x/5
y φυσικος και (4,5)=1. Αρα 5 διαρει το x , με x στο {0,…,9}. Αρα x=5. Συνεπως
y = 4.
Επομενως η ηλικια της κ. Ανθης ειναι 45 και του αντρα της 54.
Οι ηλικίες του ανδρόγυνου είναι 54 και 45 αντίστοιχα. Έστω «αβ» οι ηλικίες στους που είναι της μορφής (10β+α) και (10α+β) αντίστοιχα και επειδή εξ’ ορισμού η διαφορά των δύο ηλικιών ισούται με το 1/11 του αθροίσματος των έχουμε την εξίσωση:
[(10β+α)-(10α+β)]=[(10β+α)+(10α+β)]/11(1)
10β+α-10α-β=(10β+α+10α+β)/11 –> 9β-9α=(11α+11β)/11 –>
9β-9α=11(α+β)/11 –>
9β-9α=α+β –> 9β-β=9α+α –> 8β=10α –>
β=10α/8 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των
ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο “α” τις τιμές από το 1 έως το 9, βλέπουμε ότι η
μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό “β” είναι ο
αριθμός α = 4. Υπάρχει και δεύτερη λύση με α=8, και β=10, με ηλικία του συζύγου 108 και της συζύγου 90, η οποία απορρίπτεται, λόγω του ότι δεν συμφωνεί με το λεγόμενο στην εκφώνηση:
«…Αντιστρέφοντας τα ψηφία που απαρτίζουν την ηλικία του βρίσκουμε τη δική μου ηλικία…»
Ενώ συμφωνεί με την εκφώνηση:
«Η διαφορά ανάμεσα στις δύο ηλικίες μας είναι ακριβώς 1/11 του αθροίσματός τους.»
που είναι 18, λόγω του ότι οι ηλικίες τους είναι διπλάσιες.
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «β» στη (2) κι’ έχουμε:
β=10α/8 –> β=(10*4)/8 –> β=40/8 –> β=5 (3)
Επαλήθευση:
[(10β+α)-(10α+β)]=[(10β+α)+(10α+β)]/11 –>
[(10*5+4)-(10*4+5)] = [(10*5+4) + (10*4+5)]/11 –>
[(50+4)-(40+5)]=[(50+4) + (40+5)]/11 –> 54-45=(54+45)/11 –> 9=99/11 ο. ε. δ.
Οι ηλικίες είναι 10χ+ψ και 10ψ+χ αντίστοιχα και ισχύει [10χ+ψ]-[10ψ+χ]=[11χ+11ψ]/11 ,άρα 9χ-9ψ=χ+ψ και κατά συνέπεια 8χ=10ψ ,άρα 4χ=5ψ και [χ,ψ]=[5,4].