Ένας κόκορας αξίζει πέντε κέρματα.
Μια κότα αξίζει 3 κέρματα.
Και τρία κοτοπουλάκια αξίζουν 1 κέρμα.
Ένας αγόρασε 100 πτηνά με 100 κέρματα.
Πόσους κόκορες, πόσες κότες και πόσα κοτοπουλάκια αγόρασε με τα 100 κέρματα;
*Το ανωτέρω πρόβλημα προέρχεται από το βιβλίο του Kινέζου μαθηματικού Qiujian Zhang (430-490), γνωστού επίσης και με τ’ όνομα Chang-chiu-chien, με τίτλο “Κλασική αριθμητική – Suan-ching” που δημοσιεύτηκε το 468, σχολιάστηκε τον έβδομο αιώνα από τον Li Ch’unfeng και δημοσιεύτηκε εκ νέου μαζί με άλλα κείμενα το 1084 την εποχή της διακυβέρνησης της Δυναστείας των Sung. Το κείμενο χωρίζεται σε τρία κεφάλαια και περιλαμβάνει 92 προβλήματα των μαθηματικών. Εκ των οποίων το ένα αφορά πρόβλημα των 100 πτηνών. (Βλέπε πρβλ.323/Κατ.34).
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Υπάρχουν 4 πιθανές απαντήσεις :
0 κόκορες, 25 κότες και 75 κοτοπουλάκια
4 κόκορες, 18 κότες και 78 κοτοπουλάκια
8 κόκορες, 11 κότες και 81 κοτοπουλάκια
12 κόκορες, 4 κότες και 84 κοτοπουλάκια
Έστω x κόκορες, y κότες και 3*ω τα κοτοπουλάκια
Προκύπτουν οι εξισώσεις :
x + y + 3ω = 100 (1)
5x + 3y + ω = 100 (2)
Λύνοντας την (2) ως προς ω και αντικαθιστώντας στην (1) έχουμε :
7x + 4y = 100 ή
7x = 100 – 4y ή
7x = 4(25 – y) (3)
Από τη σχέση (3) προκύπτουν :
x = πολλαπλάσιο του 4 και x < 14
άρα x = 0 ή 4 ή 8 ή 12
Για x = 0, είναι y = 25 (από την 3) και ω = 25 (από την 1)
Για x = 4, είναι y = 18 (από την 3) και ω = 26 (από την 1)
Για x = 8, είναι y = 11 (από την 3) και ω = 27 (από την 1)
Για x = 12, είναι y = 4 (από την 3) και ω = 28 (από την 1)
8, 11, 81. απροσδιοριστη ανάλυση χ+ψ+ζ=100, 5χ+3ψ+1/3.ζ=100 …..7χ+4ψ=100 με δοκιμες το αποτελεσμα
ΤΟ 1946 ΜΑΘΗΤΗΣ ΠΡΩΤΗΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΦΟΒΟΜΟΥΝ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, ΤΟ ΚΑΛΟΚΑΙΡΙ ΒΡΗΚΑ ΕΝΑ ΒΙΒΛΙΑΡΑΚΙ ΧΩΡΙΣ ΕΞΩΦΥΛΛΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΑΡΥΘΜΗΤΙΚΗΣ ΠΟΥ ΜΕ ΕΚΑΝΕ ΝΑ ΤΑ ΑΓΑΠΗΣΩ. ΑΣΚΗΣΗ ΤΟ ΤΕΤΡΆΓΩ ΜΟΝΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ -1 = ΠΟΛ 8 ΠΧ 35Χ35-1=1225-1=1224 =8 Χ 153 ΕΜΕΙΣ ΔΕΝ ΕΙΧΑΜΕ ΜΗΧΑΝΑΚΙΑ ΓΙΑ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΜΑΘΑΙΝΑΜΕ ΝΑ ΚΑΝΟΥΜΕ ΜΕ ΤΟ ΜΥΑΛΟ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΩΝΤΑΣ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ ΔΥΩΝΥΜΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΑ ΚΟΛΠΑ ΠΧ Α5 Χ Α5 = Α*(Α+1) ΚΑΙ ΒΑΖΕΙΣ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ 25 ΠΧ 45Χ45 4Χ5 =20 ΑΠ0ΤΕΛΕΣΜΑ 2025, 27Χ23= (25+2)Χ(25-2)= 25Χ25-4 = 625-4=621 ΚΑΙ ΒΕΒΑΙΑ ΕΥΡΥΤΑΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓ ΚΑΝΟΝΑ. ΜΙΑ ΑΛΛΗ ΦΟΡΑ ΘΑ ΣΑΣ ΠΩ ΣΧΕΤΙΚΑ
@vasilis mavrogenis
Βασίλη, τι μας θύμισες!! Παλιά χρησιμοποιούσαμε του λογαρίθμους του Π. Τόγκα και το τρίτομο ευαγγέλιο των μαθηματικών του. Σήμέρα, ας είναι καλά οι υπολογιστές τσέπης!!
@Μάνος Κοθρής
Στην ουσία τρεις λύσεις είναι αποδεκτές, διότι η 4η λύση (0 κόκορες, 25 κότες και 75 κοτοπουλάκια) δεν ευσταθεί, διότι η εκφώνηση αναφέρει ρητά “πόσα πτηνά αγόρασε από το κάθε είδος”, άρα και κόκορες. Εξ’ άλλου και ο Qiujian Zhang δεν την αποδέχτηκε.
Το πρόβλημα έχει 3 λύσεις, οι οποίες είναι αποδεκτές. Έστω «α» ο κόκορας, «β» η κότα και «ω» τα τρία κοτοπουλάκια Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
α+β+ω = 100 (1)
5α+3β+(1/3)ω = 100 (2)
Λύνουμε την (1) ως προς “ω” κι’ έχουμε:
α+β+ω = 100 —> ω=[100-(α+β)] (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
5α+3β+(1/3)ω = 100 —> 5α+3β+(1/3)* [100-(α+β)] = 100 —>
5α+3β+(1/3)* (100-α-β) = 100 —>3*5α+3*3β+100-α-β = 100*3 —>
15α+9β+100-α-β = 300 —> 14α+8β = 300-100 —> 2*(7α+4β) = 200 —>
7α+4β =200/2—> 7α+4β = 100 —> 4β = 100-7α —> β=(100-7α)/4 (4)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση
των ακέραιων ριζών. Η τιμή του “α” πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίνοντας στο «α» τις τιμές από το 1 έως το «n», με
δοκιμές βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που ικανοποιούν τη συνθήκη και δίνουν
ακέραιο αριθμό «β» είναι: α1=4, α2=8 και α3=12.
Αντικαθιστούμε τις τιμές του “α” στη (4) κι’ έχουμε:
(1)β=(100-7α)/4 —> β=(100-7*4)/4 —> β=(100-28)/4 —> β=72/4 —>β1=18
(2)β=(100-7α)/4)—> β=(100-7*8)/4—> β=(100-56)/4 —> β=44/4 —> β2=11
(3)β=(100-7α)/4 —> β=(100-7*12)/4 —> β=(100-84)/4 —> β=16/4 —> β3=4
Αντικαθιστούμε τις τιμές “α” και “β” στη (3) κι’ έχουμε:
ω =100-(α+β) —> ω = 100 – (4+18) —> ω = 100 – 22 —> ω1 = 78
ω =100-(α+β) —> ω = 100 – (8+11) —> ω = 100 – 19 —> ω2 = 81
ω =100-(α+β) —> ω = 100 – (12+4) —> ω = 100 – 16 —> ω3 = 84
Επαλήθευση:
α+β+ω = 100 —> 4+18+78 = 100
α+β+ω = 100 —> 8+11+81 = 100
α+β+ω = 100 —> 12+4+84 = 100
5α+3β+(1/3)*ω = 100 —> 5*4+3*18+(1/3)*78 = 100 —> 20+54+26 = 100
5α+3β+(1/3)*ω = 100 —> 5*8+3*11+(1/3)*81 = 100 —> 40+33+27 = 100
5α+3β+(1/3)*ω = 100 —> 5*12+3*4+(1/3)*84 = 100 —> 60+12+28 = 100 ο.ε.δ.
{χ+y+z=100,5x+3y+z/3=100}
x+y+z=100(1)
15x+9y+z=300(2)
14x+8y=200,7x+4y=100,7x=4(25-y),x=0(mod4)(3),x<14(4)(αν χmin=14,τότε ymax=0,5,άτοπο)
1η περίπτωση (χ,y,z)=(4,18,78)
2η περίπτωση (x,y,z)=(8,11,81)
3η περίπτωση (x,y,z)=(12,4,84)