Υπάρχουν τρία είδη σιταριού. Η ποιότητα «Α΄», η ποιότητα «Β΄» και η ποιότητα «Γ΄».
(α)Τρία δέματα από το πρώτο είδος, μαζί με δύο δέματα από το δεύτερο είδος, και ένα δέμα από το τρίτο είδος μας δίνουν 39 μονάδες.
(β)Δύο δέματα από το πρώτο είδος, μαζί με τρία δέματα από το δεύτερο είδος, και τρία δέματα από το τρίτο είδος μας δίνουν 34 μονάδες.
(γ)Ένα δέμα από το πρώτο είδος, μαζί με δύο δέματα από το δεύτερο είδος, και τρία δέματα από το τρίτο είδος μας δίνουν 21 μονάδες.
Πόσες μονάδες σιταριού περιέχονται στο δεμάτι του κάθε είδους;
*Το ανωτέρω πρόβλημα προέρχεται από το Κινέζικο βιβλίο «Chiu-chang-Suan-shu – Αριθμητική σε 9 κεφάλαια».
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
11 μονάδες στο πρώτο είδος και από 2 μονάδες στο δεύτερο και τρίτο είδος.
Στο πρώτο είδος σιταριού περιέχονται 11 μονάδες, στο δεύτερο είδος σιταριού περιέχονται 2 μονάδες, και στο τρίτο είδος σιταριού περιέχονται επίσης 2 μονάδες. Έστω «x» το πρώτο είδος σιταριού, «ψ» το δεύτερο είδος σιταριού και «ω» το τρίτο είδος σιταριού. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
3x+2ψ+ω=39 (1)
2x+3ψ+3ω=34 (2)
x+2ψ+3ω=21 (3)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
3x+2ψ+ω=39 —> 3x=39-2ψ-ω —> x=(39-2ψ-ω)/3 (4)
Αντικαθιστούμε τη (4) στη (2) κι’ έχουμε:
2x+3ψ+3ω=34 —> 2*[(39-2ψ-ω)/3]+3ψ+3ω=34 —> [(78-4ψ-2ω)/3]+3ψ+3ω=34 —>
78-4ψ-2ω+3*3ψ+3*3ω=34*3 —> 78-4ψ-2ω+9ψ+9ω=102 —> 5ψ+7ω=102-78 —>
5ψ+7ω=24 —> 5ψ=24-7ω —> ψ=(24-7ω)/5 (5)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση
των ακέραιων ριζών. Η τιμή του “ω” πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίνοντας στο «ω» τις τιμές από το 1 έως το «n», με δοκιμές βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που ικανοποιούν τη συνθήκη και δίνουν
ακέραιο αριθμό «ψ» είναι ω=2 (6).
Αντικαθιστούμε τη τιμή του “ω” στη (5) κι’ έχουμε:
ψ=(24-7ω)/5 —> ψ=(24-7*2)/5 —> ψ=(24-14)/5 —> ψ=10/5 —> ψ=2 (7)
Αντικαθιστούμε τις τιμές (6) και (7) στη (4) κι’ έχουμε:
x=(39-2ψ-ω)/3 —> x=(39-2*2-2)/3 —> x=(39-4-2)/3 —> x=(39-6)/3 —->
x=33/3 —> x=11 (8)
Επαλήθευση:
3x+2ψ+ω=39 —> 3*11+2*2+2=39 —> 33+4+2=39
2x+3ψ+3ω=34 —-> 2*11+3*2+3*2=34 —> 22+6+6=34
x+2ψ+3ω=21 —> 11+2*2+3*2=21 —-> 11+4+6=21 ο. ε. δ.
ΛΥΣΗ. Το ΕΚΠ των 1,2,3 είναι το 6. Άρα 6 δέματα Α ,4 δέματα Β και 2 δέματα Γ δίνουν 2*39=78μον. Επίσης τα 6 δέματα Α , 9 δέματα Β και 9 δέματα Γ δίνουν 3*34=102μον. και 6 δέματα Α , 12 δέματα Β και 18 δέματα Γ δίνουν 6*21=126μον. Επομένως 5 δέματα Β και 7 δέματα Γ δίνουν 102-78=24μον. και 8 δέματα Β και 16 δέματα Γ δίνουν 126-78=48μον. Το ΕΚΠ των 5,8 είναι το 40 ,άρα 40 δέματα Β και 56 δέματα Γ δίνουν 8*24=192μον. και 40 δέματα Β και 80 δέματα Γ δίνουν 5*48=240μον. Συνεπώς τα 24 δέματα Γ δίνουν 240-192=48μον.,δηλαδή το ένα δέμα Γ δίνει 48/24=2μον. ,το ένα δέμα Β δίνει [240-80*2]/40=2μον. και το ένα δέμα Α δίνει [78-4*2-2*2]/6=11μον.
{3χ+2y+z=39,2x+3y+3z=34,x+2y+3z=21}
(3x+2y+z)-(x+2y+3z)=2x-2z=39-21,x-z=9(1)
(2x+3y+3z)-(x+2y+3z)=x+y=34-21,x+y=13(2)
x=z+9,y=4-z[από (1),(2)]
3x+2y+z=39,3(z+9)+2(4-z)+z=39(,z=2,x=11,y=2)