Να τοποθετήσετε τους ακεραίους αριθμούς από το 1 μέχρι το 19 στους κύκλους του σχήματος έτσι ώστε κάθε τριάδα αριθμών σε τρεις κύκλους που στην ίδια ευθεία έχουν το ίδιο άθροισμα.
Σχηματίζονται 9 συνευθειακές τριάδες.
Το άθροισμα των αριθμών από 1 έως 19 είναι 19*(19+1)/2=190.
Εάν χ είναι ο αριθμός στο κέντρο του κύκλου και Ψ το άθροισμα κάθε τριάδας, ισχύει:
190+8χ=9ψ => 1+8χ=0mod9 =>
χ=1mod9.
Στο εύρος 1 έως 19, αριθμοί ισοτιμίας 1mod9 είναι οι 1, 10 και 19.
Για χ=1 => ψ=22, οπότε τα 9 περιφερειακά ζευγάρια έχουν όλα άθροισμα 22-1=21 (2+19, 3+18, …, 10+11)
Ομοίως:
Για χ=10 => ψ=30, άθροισμα περιφ.ζευγαριών 30-10=20 (1+19, 2+18, …,9+11)
Για χ=19 => ψ=38, άθροισμα περιφ.ζευγαριών 38-19=19 (1+18, 2+17,…, 9+10)
1-10-19
2-10-18
3-10-17
4-10-16
5-10-15
6-10-14
7-10-13
8-10-12
9-10-11
Σχηματίζονται 9 συνευθειακές τριάδες.
Το άθροισμα των αριθμών από 1 έως 19 είναι 19*(19+1)/2=190.
Εάν χ είναι ο αριθμός στο κέντρο του κύκλου και Ψ το άθροισμα κάθε τριάδας, ισχύει:
190+8χ=9ψ => 1+8χ=0mod9 =>
χ=1mod9.
Στο εύρος 1 έως 19, αριθμοί ισοτιμίας 1mod9 είναι οι 1, 10 και 19.
Για χ=1 => ψ=22, οπότε τα 9 περιφερειακά ζευγάρια έχουν όλα άθροισμα 22-1=21 (2+19, 3+18, …, 10+11)
Ομοίως:
Για χ=10 => ψ=30, άθροισμα περιφ.ζευγαριών 30-10=20 (1+19, 2+18, …,9+11)
Για χ=19 => ψ=38, άθροισμα περιφ.ζευγαριών 38-19=19 (1+18, 2+17,…, 9+10)
1+19+18=38
2+19+17=38
3+19+16=38
4+19+15=38
5+19+14=38
6+19+13=38
7+19+12=38
8+19+11=38
9+19+10=38
Ο 10 στον κεντρικό κύκλο, και τα 9 ζεύγη (1,19), (2,18),…,(9,11) στους αντιδιαμετρικούς κύκλους.