Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο (ΑΒΓ) με υποτείνουσα ΒΓ=10εκ. Φέρνουμε την κάθετο ΑΔ στην υποτείνουσα η οποία είναι 6εκ.
Το ερώτημα είναι, γιατί το εμβαδό του τριγώνου ΔΕΝ είναι 30εκ.;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Το εμβαδόν εκφράζεται σε τ.εκ., όχι σε εκ.
Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα 10 εκ., το μέγιστο δυνατό ύψος του στην υποτείνουσα είναι 5 εκ., άρα το μέγιστο δυνατό εμβαδόν του 5*10/2 = 25 τ.εκ.
Αν πάλι έχει τις διαστάσεις που δίνονται στο σχήμα (βάση 10, ύψος 6), δεν μπορεί να είναι ορθογώνιο στο Α.
Γιατί είναι 30 τ.εκ.
1η λύση
Φέρνω την διάμεσο ΑΜ.
ΑΜ = ΒΓ/2 = 5 εκ.
Δεν μπορεί ένα κάθετο τμήμα ΑΚ = 6 εκ να είναι μεγαλύτερο από ένα πλάγιο τμήμα ΑΜ = 5 εκ
άρα δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο
2η λύση
Έστω ΒΔ = x και ΓΔ = y
Είναι ΒΔ*ΓΔ = ΑΔ^2 δηλαδή x*y = 36
Επίσης ΒΔ + ΓΔ = ΒΓ δηλαδή x + y = 10
Τα x και y είναι ρίζες της εξίσωσης ω^2 – 10ω + 36 = 0
η οποία έχει Δ = -44
Άτοπο, δεν υπάρχει τέτοιο τρίγωνο.
Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του γινομένου των δυο καθέτων πλευρών του.
Το εμβαδόν του τριγώνου σαφώς και είναι ίσο με 30 εκατοστά. Το πρόβλημα βρίσκεται ότι με αυτά τα δεδομένα το τρίγωνο δεν μπορεί να είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα ΒΓ: η μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το ύψος σε μια τέτοια περίπτωση είναι 5 εκατοστά, όταν το τρίγωνο θα είναι ισοσκελές. Σε κάθε άλλη περίπτωση (για ΑΔ>5) το τρίγωνο θα είναι οξυγώνιο.
ειναι 30 cm^2 και οχι 30 cm
Πηγή:
http://www.emeimathias.gr/evil_geometry/
Δείτε το παρακάτω βίντεο που περιγράφει οπτικά το συγκεκριμένο πρόβλημα και εξηγεί το γιατί δεν έχει λύση!
Evil Geometry Problem
Το θεώρημα του ύψους: ΑΔ^2=36. Οι προβολές των καθέτων έχουν άθροισμα 10 (υποτείνουσα)
Το γινόμενο των προβολών γίνεται μέγιστο όταν αυτές είναι ίσες δηλαδή 5 κάθε μία άρα 25 (ποτέ 36)
Υπάρχει περίπτωση σε μη ευκλείδεια γεωμετρία να υφίσταται τέτοιο ορθογώνιο τρίγωνο;