Ένας πατέρας άφησε κληρονομιά στους τέσσερις γιους του 40 αγελάδες.
Η απόδοση σε γάλα κάθε αγελάδας ήταν η εξής:
Η 1η αγελάδα δίνει 1 κιλό γάλα.
Η 2η αγελάδα δίνει 2 κιλά γάλα.
Η 3η αγελάδα δίνει 3 κιλά γάλα.
Η 4η αγελάδα δίνει 4 κιλά γάλα.
………………………………….
Η 40η αγελάδα δίνει 40 κιλά γάλα.
Πως μοίρασαν τα αδέλφια τις αγελάδες, ώστε κάθε αδελφός να πάρει ίσο αριθμό αγελάδων και γάλακτος;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
η ακολουθια των αγελαδω και της παραγωγης τους προκειται για την αριθμητικη προοδο αν+1=αν+1 με α1=1 .Στη συνεχεια για να βρουμε τη συνολικη παραγωγη και των 40 αγελαδων λυνουμε την Sν=ν/2{2α1+(ν-1)ω} με οπου ν=40,ω=1 και α1=1 που ισουται με S40=820. Καθε γιος θα παρει 820/4=205 κιλα γαλα και 10 αγελαδες που μπορουν να τα παραγουν. Ο μονος τροπος για να μοιρασουν τις αγελαδες ειναι ο εξης:1ος αδερφος θα παρει τις αγελαδες : 1η,40η,2η,39η,3η,38η,4η,37η,5η,36η .δηλαδη με αλλα λογια φανταστειτε οτι αν βαλουμε στη σειρα και τις 40 αγελαδες θα παιρνουμε μια απο την αρχη πχ 1η μετα μια απο το τελος πχ 40η μετα παλι μια απο την αρχη πχ 2η και θα συνεχισουμε μεχρι να εχουμε 10 αγελαδες αυτο θα το κανουν και οι 4 αδελφοι με αποτελεσμα να παρουν ολοι 10 αγελαδες που παραγουν 205 κιλα γαλα αφου S5+S40-S35=205 κιλα γαλα για τον 1ο γιο S10-S5+S35-S30=205 και ου το καθεξης.
“S10-S5+S35-S30=205 για τον δευτερο γιο και ου το καθ’εξης.
1+2+3+…+40=820
820:4=205
Κάθε γιος θα πάρει 10 αγελάδες που παράγουν συνολικά 205 κιλά γάλα
205=5*41
Κάθε γιος πρέπει να πάρει 5 οποιαδήποτε ζεύγη αγελάδων με κάθε ζεύγος να παράγει μαζί 41 κιλά γάλα.
Τέτοια ζεύγη υπάρχουν ακριβώς 20 (1+40, 2+39, 3+38, …, 20+21)
Ερώτηση: Πόσοι διαφορετικοί τρόποι υπάρχουν για να γίνει η μοιρασιά;
Οι 40 αγελαδες παραγουν ν(ν+1)/2=820 κιλα γαλα, οπου ν=40. Αρα ο καθε αδερφος θα παρει 820/4=205 κιλα γαλα και 40/4=10 αγελαδες. Αν υποθέσουμε οτι ενας αδερφος θα παρει 10 “διαδοχικες” αγελαδες (απο πλευρας πραγωγης γαλακτος). Τοτε θα ισχυει:
χ+(χ+1)+(χ+2)…….+(χ+9)=10χ+45=205—>χ=16. Αρα αυτος ο αδερφος θα παρει τις 16η, 17η, 18η…και 25η αγελαδα. Ευκολα βρισκουμε λοιπον οτι ο δεύτερος αδερφος θα παρει τις 11,12,13,14,15,26,27,28,29 και 30 αγελαδες (αφαιρώντας το 1 για καθε μια απο τις 5 πρωτες και προσθετωντας το 1 στις 5 τελευταιες του πρωτου αδερφου). Ομοιως, ο τριτος αδερφος θα παρει τις 6,7,8,9,10,31,32,33,34 και 35 αγελαδες, ενω ο τελευταιος τις 1,2,3,4,5,36,37,38,39 και 40.
Πού κολλάει το αρνητικό “ου το”….;;;;;
Συγγνώμη, αλλά δεν νομίζω ότι είναι για άριστους…
Μάλλον απλό ήταν…!
Συνδυασμός 20 ανά 4 ( ζεύγη, γιοί),
Αποτέλεσμα 4845.
Καλή ερώτηση.