Έχεις βρεθεί ποτέ σε ένα πάρτι, σε μια σχολική τάξη ή σε ένα εργασιακό περιβάλλον και ανακάλυψες ότι έχεις γενέθλια την ίδια ακριβώς μέρα με κάποιον άλλον; Η πρώτη αντίδραση των περισσότερων είναι: «Τι σύμπτωση! Ποιες ήταν οι πιθανότητες;».
Στο μυαλό μας, επειδή το έτος έχει 365 ημέρες, θεωρούμε ότι χρειαζόμαστε εκατοντάδες ανθρώπους στον ίδιο χώρο για να συμβεί κάτι τέτοιο. Τα Μαθηματικά όμως – και συγκεκριμένα η Θεωρία Πιθανοτήτων – έρχονται να ανατρέψουν πλήρως την κοινή λογική μέσα από το περίφημο «Παράδοξο των Γενεθλίων».
Το Παράδοξο με Αριθμούς
Ας κάνουμε μια απλή ερώτηση: Πόσους ανθρώπους πρέπει να μαζέψουμε σε ένα δωμάτιο, ώστε η πιθανότητα δύο από αυτούς να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα να είναι πάνω από 50%;
Οι περισσότεροι άνθρωποι που δεν έχουν σχέση με τα μαθηματικά απαντούν αυθόρμητα αριθμούς κοντά στο 180 (το μισό του 365). Κι όμως, η σωστή απάντηση είναι μόλις 23 άτομα!
Αν μάλιστα στο δωμάτιο βρεθούν 75 άτομα, η πιθανότητα εκτοξεύεται στο 99,9%!
Σημείωση: Το φαινόμενο ονομάζεται «παράδοξο» όχι γιατί κρύβει κάποιο λογικό λάθος, αλλά επειδή η μαθηματική αλήθεια έρχεται σε πλήρη αντίθεση με την ανθρώπινη διαίσθηση.
Γιατί η διαίσθησή μας πέφτει έξω;
Το λάθος που κάνει ο ανθρώπινος εγκέφαλος είναι ότι σκέφτεται εγωκεντρικά. Όταν μπαίνεις σε ένα δωμάτιο με άλλα 22 άτομα, σκέφτεσαι: «Ποια είναι η πιθανότητα να έχει κάποιος γενέθλια την ίδια μέρα με εμένα;». Αυτή η πιθανότητα είναι πράγματι πολύ μικρή.
Όμως, το παράδοξο δεν ψάχνει αν κάποιος συμπίπτει με εσένα, αλλά αν συμπίπτουν οποιοιδήποτε δύο μεταξύ τους. Δεν ψάχνουμε δηλαδή ατομικές συμπτώσεις, αλλά ζευγάρια.
Όταν έχουμε 23 άτομα στο δωμάτιο, ο αριθμός των πιθανών ζευγαριών που σχηματίζονται είναι πολύ μεγαλύτερος από ό,τι φαντάζεσαι. Συγκεκριμένα, το πρώτο άτομο μπορεί να κάνει ζευγάρι με άλλα 22, το δεύτερο με άλλα 21 κ.ο.κ. Αν κάνουμε τις πράξεις, στα 23 άτομα δημιουργούνται 253 διαφορετικά ζευγάρια!
Κάθε ένα από αυτά τα 253 ζευγάρια είναι μια ευκαιρία για να πετύχουμε την «ίδια μέρα».
Πώς αποδεικνύεται μαθηματικά;
Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν ένα έξυπνο «κόλπο»: αντί να βρουν την πιθανότητα να έχουν δύο άνθρωποι γενέθλια την ίδια μέρα, υπολογίζουν πρώτα την αντίθετη πιθανότητα, δηλαδή να έχουν όλοι γενέθλια σε διαφορετικές μέρες.
-
Ο 1ος άνθρωπος μπορεί να έχει γενέθλια οποιαδήποτε μέρα (365 επιλογές από τις 365).
-
Ο 2ος, για να διαφέρει, έχει 364 επιλογές από τις 365.
-
Ο 3ος έχει 363 επιλογές… και ούτω καθεξής.
Πολλαπλασιάζοντας αυτά τα κλάσματα για 23 άτομα, βρίσκουμε ότι η πιθανότητα να έχουν όλοι διαφορετικά γενέθλια είναι περίπου 49,3%.
Επομένως, η πιθανότητα τουλάχιστον δύο να συμπίπτουν είναι:
Δηλαδή, κάτι παραπάνω από τις μισές φορές, το «θαύμα» θα συμβεί!
Συμπέρασμα: Τα Μαθηματικά βλέπουν τη μεγάλη εικόνα
Το Παράδοξο των Γενεθλίων είναι το τέλειο παράδειγμα για το πώς η Θεωρία Πιθανοτήτων μας βοηθάει να βλέπουμε τον κόσμο καθαρά, μακριά από τις προκαταλήψεις της διαίσθησής μας. Την επόμενη φορά, λοιπόν, που θα βρεθείς σε μια παρέα 25-30 ατόμων, κάνε την ερώτηση. Οι πιθανότητες είναι με το μέρος σου για να εντυπωσιάσεις τους πάντες!
