Η ηλικία του κ. Φωτίου αποτελείται από έναν διψήφιο αριθμό, του οποίου εάν αντιστρέψουμε τα ψηφία του μας δίδουν την ηλικία του γιου του, Κώστα.
Εάν από κάθε ηλικία αφαιρέσουμε μια μονάδα, τότε η ηλικία του γιου του ισούται με το 1/4 της ηλικίας του κ. Φωτίου.
Ποιες είναι οι ηλικίες τους;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
16, 61
Ο κ. Φωτίου είναι 61 ετών και ο γιος του είναι 16 ετών. Έστω «αβ» ο διψήφιος αριθμός της ηλικίας του κ. Φωτίου, που είναι της μορφής (10α+β), και «βα» ο διψήφιος αριθμός της ηλικίας του γιου του, που είναι της μορφής (10β+α). Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
[(10α+β)-1]/4=[(10β+α)-1] –> [(10α+β)-1]=4*[(10β+α)-1] –>10α+β-1=40β+4α-4 –>
10α-4α=40β-β-4+1 –> 6α=39β-3 –> α=(39β-3)/6 (1)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση
των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο «β» τις τιμές από το 1 έως το «n», με
δοκιμές βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει
ακέραιο αριθμό «α» είναι ο αριθμός β = 1.
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «β» στην (1) κι’ έχουμε:
α=(39β-3)/6 –> α=[(39*1)-3]/6 –> α=(39-3)/6 –> α=36/6 –> α=6 (2)
Επαλήθευση:
[(10α+β)-1]/4=[(10β+α)-1] –> [(10*6)+1-1]/4=[(10*1)+6-1] –>60/4=10+5 –> 60/4=15
Εστω χ το πρωτο ψηφιο του διψηφιου αριθμου που εκεφραζει την ηλικια του κ. Φωτιου και y το δευτερο.
Αρα ο κ. Φωτιου ειναι 10x + y ετων και ο γιος του 10y + x , 0 <= x, y …… => 2x – 13y + 1 = 0 , 0 <= x, y x = 25/2 (αποριπτεται)
– Αν y > 2 : 2x > 25/2 (αποριπτεται)
– Αν y = 0 : 2x + 1 = 0 => x = 1/2 αποριπτεται.
Αρα y=1, 2x – 13 + 1 = 0 => x = 6.
Επομενως ο κ. Φωτιου ειναι 61 χρονων και ο γιος του 16.
Εστω x το πρωτο ψηφιο του διψηφιου αριθμου που εκφραζει την ηλικια του κ. Φωτιου και y το δευτερο.
Αρα ο κ. Φωτιου ειναι 10x + y ετων και ο γιος του 10y + x , x, y {0,…,9}.
(10x + y – 1)/4 = 10y + x – 1. Αρα 2x – 13y + 1 = 0.
Αν y = 2 : x = 25/2 (αποριπτεται)
Αν y > 2 : x > 25/2 (αποριπτεται)
Αν y = 0 : x = 1/2 (αποριπτεται)
Αρα y=1, 2x – 13 + 1 = 0 => x = 6.
Επομενως ο κ. Φωτιου ειναι 61 χρονων και ο γιος του 16.
Έστω (yx) η ηλικία του κ.Φωτίου και (xy) η ηλικία του γιου του Κώστα.
(yx) = 10y+x και (xy) = 10x+y
Είναι 10x + y – 1 = (10y + x – 1)/4
40x + 4y – 4 = 10y + x – 1
39x = 6y +3
13x = 2y + 1
To y παίρνει τιμές από 1 μέχρι 9,
άρα το 2y+1 παίρνει τιμές από 3 μέχρι 28
και επειδή είναι πολλαπλάσιο του 13 θα είναι
13x = 2y + 1 = 13
άρα x = 1 και y = 6
Επομένως η ηλικία του κ.Φωτίου είναι 61 και του γιου του Κώστα είναι 16.
Διόρθωση
το 2y+1 παίρνει τιμές από 3 μέχρι 19
ΛΥΣΗ. Οι ηλικίες τους είναι 10χ+ψ και 10ψ+χ αντίστοιχα και ισχύει 10ψ+χ-1=[10χ+ψ-1]/4 ,επομένως 13χ-2ψ=1 ,άρα [χ,ψ]=[1,6].