Ένας έμπορος έχει 100 πορτοκάλια τα οποία πουλάει στη λαϊκή αγορά και εισπράττει συνολικά 100 ευρώ.
Τα πιο καλά από αυτά τα πούλησε 10 ευρώ το καθένα, τα μέτρια 3 ευρώ το καθένα και τα υπόλοιπα από μισό ευρώ το καθένα (ο γρίφος είναι παλιός, οι τιμές ήταν σε δραχμές και προσαρμόστηκαν στη νέα πραγματικότητα γι αυτό ακούγονται κάπως)
Να βρείτε πόσα πορτοκάλια πούλησε με 10 ευρώ το καθένα, πόσα με 3 ευρώ το καθένα και πόσα με 0,5 ευρώ το καθένα.
προτάθηκε από τον
Θάνο Νικολόπουλο
Μαθηματικό / Συγγραφέα
5,1,94
200α+6β+γ=200 και 2α+2β+2γ=200 →
→18α+4β=γ και 100-α-β=γ →
→19(α/5)+β=20 → α=5, β=1, γ=94
Ο έμπορος πούλησε 5 πορτοκάλια με τιμή 10, 1 πορτοκάλι με τιμή 3 και 94 πορτοκάλια με τιμή 0,5
Έστω o έμπορος ότι πούλησε x πορτοκάλια με τιμή 10, y πορτοκάλια με τιμή 3 και z πορτοκάλια με τιμή 0,5 (x, y, z φυσικοί αριθμοί)
Προκύπτουν οι εξισώσεις :
x + y + z = 100 και 10x + 3y + z/2 = 100
x + y + z = 100 και 20x + 6y + z = 200
Αφαιρώντας κατά μέλη προκύπτει η εξίσωση
19x + 5y = 100
19x = 100 – 5y
19x = 5*(20 – y)
Το 19 διαιρεί το 5*(20-y) και δεν διαιρεί το 5,
άρα το 19 διαιρεί το (20-y)
και επειδή 0<20-y<20, θα είναι 20 – y = 19 ή y = 1
Για y = 1 έχουμε 19x = 95 ή x = 5
Για x = 5 και y = 1 είναι z = 94
Το πρόβλημα είναι μια παραλλαγή των προβλημάτων που αναφέρονται στο βιβλίο του Leonardo (di Pisa) Fibonacci (1170-1230):
«Liber Abbaci = Βιβλίο Άβακος= Εγχειρίδιο Αριθμητικής, 1202, β΄ έκδοση, 1228, αποτελούμενο από 15 κεφάλαια».
Ή στο χειρόγραφο του Leonardo (di Pisa) Fibonacci (1170-1230) με τίτλο:
«Epistola Suprascripti Leonardi ad Magistrum Theodorum phylosophum domini Imperatoris.»
«Χειρόγραφη επιστολή, του Leonardo (di Pisa) Fibonacci, προς τον Μάγιστρο Θεόδωρο, φιλόσοφον του ηγεμόνα Αυτοκράτορα.».
Και είναι γνωστά ως «Προβλήματα των 100 Πτηνών».
Λύση:
Ο έμπορος πούλησε 5 πορτοκάλια των 10€, ένα πορτοκάλι των 3€, και 94 πορτοκάλια του 0,50€. Έστω «x» τα πορτοκάλια των 10€, «ψ» τα πορτοκάλια των 3€ και «ω» ταπορτοκάλια των 0,50€ Βάσει των δεδομένων της εκφωνήσεως του προβλήματος έχουμε:
x+ψ+ω=100(1)
10x+3ψ+0,50ω=100€(2)
Λύνουμε την (1) ως προς “ω” κι’ έχουμε:
x+ψ+ω=100 —> ω=[100-(x+ψ)](3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
10x+3ψ+0,50ω=100 —> 10x+3ψ+0,50[100-(x+ψ)]=100 —>
10x +3ψ+50-0,50x-0,50ψ=100 —> 9,50x+2,50ψ=100-50 —>9,50x+2,50ψ=50 —>
9,50x = 50-2,50ψ —> x=(50-2,50ψ)/9,50(4)
Διερεύνηση:
Η τιμή του “ψ” πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίδοντας στο “ψ” τις τιμές από το 1 έως το «Ν» βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη του προβλήματος είναι ψ = 1.
Αντικαθιστούμε τη τιμή του “ψ” στη (4) κι’ έχουμε:
x=(50-2,50ψ)/9,50 —> x=(50-2,50*1)/9,50 —> x=(50-2,50)/9,50 —>
x=47,50/9,50 —> x=5
Αντικαθιστούμε τις τιμές του “x” και «ψ» στη (3) κι’ έχουμε:
ω=[100-(x+ψ)] —> ω=[100-(5+1)] —> ω=100-6 —> ω=94
Επαλήθευση:
x+ψ+ω=100 —> 5+1+94=100
10x+3ψ+0,50ω=100€ —> 10*5+3*1+0,50*94 = 100€ —> 50+3+47=100€ ο.ε.δ.
Έστω x τα καλά, y τα μέτρια και z τα υπόλοιπα.
Αφού όλα μαζί είναι 100, τότε: x + y + z = 100 (1)
και αφού κέρδισε συνολικά 100€, τότε: 10x + 3y + 0,5z = 100 (2),
η οποία εξαιτίας της (1) γίνεται: 10x + 3y + 0,5(100-x-y) = 100 =>
10x + 3y + 50 – 0,5x – 0,5y = 100 =>
9,5x + 2,5y = 50 =>
19x + 5y = 100 =>
y = (100 – 19x)/5
Η εξίσωση αυτή έχει άπειρες λύσεις, ΑΛΛΑ μόνο μία είναι θετική και ακέραιη:
Για x = 5, y = 1.
Επομένως, από την (1) βγαίνει ότι z = 94.
Άρα, πούλησε:
94 πορτοκάλια με 0,5€: 94×0,5 = 47€
1 πορτοκάλι με 3€: 1×3 = 3€
5 πορτοκάλια με 10€: 5×10 = 50€
47 + 3 + 50 = 100€
Συμπληρωματικό σχόλιο.
Πιθανόν ο Leonardo (di Pisa) Fibonacci να γνώριζε, και συμπεριέλαβε στο δικό του βιβλίο τα προβλήματα των 100 πτηνών, το βιβλίο του Kινέζου μαθηματικού Qiujian Zhang (430-490), γνωστου επίσης και με τ’ όνομα Chang-chiu-chien, με τίτλο “Κλασική αριθμητική – Suan-ching” που δημοσιεύτηκε το 468, σχολιάστηκε τον έβδομο αιώνα απο τον Li Ch’unfeng και επαναδημοσιεύτηκε μαζί με άλλα κείμενα το 1084 την εποχή της διακυβέρνησης της Δυναστείας των Sung. Το κείμενο χωρίζεται σε τρία κεφάλαια και περιλαμβάνει 92 προβλήματα των μαθηματικών.
Να που ήταν μία πολύ καλή ιδέα να μοιραστώ αυτόν τον γρίφο με το site αυτό… Παραδόξως δεν είχα γνωρίσει το παρελθόν αυτού του γρίφου, συνεπώς χαίρομαι με τις λύσεις που διαβάζω και το παρελθόν του προβλήματος, ευκαιρία και για μένα να μάθω! Ευχαριστώ όσους ανάρτησαν λύσεις και πληροφορίες σχετικά.
ΛΥΣΗ. Έστω χ,ψ,z η ζητούμενη τριάδα. Ισχύει χ+ψ+z=100[1] και 10χ+3ψ+0,5z=100[2]. Το σύστημα αυτό στο σύνολο των φυσικών έχει τη μοναδική λύση [χ,ψ,z]=[5,1,94].