῎Ανδρες, γυναῖκες και παῖδες εὑρέθησαν εἰς ξενοδοχεῖον· ἕκαστος ἀνὴρ ἐξώδευσε 19 δρχ. ἑκάστη γυνὴ 10 καὶ ἕκαστος παῖς 8. Οί ἄνδρες εἶχαν ἐξοδεύσει μαζῆ 7 δρχ. περισσοτέρας ἀπό τὰς γυναῖκας καὶ 15 περισσοτέρας ἀπό τοὺς παίδας.
Διευκρίνιση:
Σ. Σούτσου και Α. Ρίζου Ραγκαβή, Συλλογή προβλημάτων, τόμος Ι, Βασιλική τυπογραφία, Αθήνα, 1836, Πρόβλημα 18, σελίς 280.
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
https://imgur.com/a/PaiPq
Υπάρχουν άπειρες λύσεις μια από αυτες είναι: στο ξενοδοχείο ήταν συνολικά 66 άτομα: 13 άνδρες, 24 γυναίκες, και 29 παιδιά. Έστω «x» οι άντρες, «y» οι γυναίκες και «z» τα παιδιά. Οπότε, αν κάθε άντρας ξόδεψε 19 δρχ όλοι μαζί ξόδεψαν 19xδρχ. Αντίστοιχα όλες οι γυναίκες μαζί ξόδεψαν 10yδρχ και όλα τα παιδιά μαζί ξόδεψαν 8zδρχ. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
19x=7+10y (1)
19x=15+8z (2).
Επομένως έχουμε:
7+10y=15+ 8z —-> 10y=15-7+8z —-> 10y=8-8z —–> 10y=8(1+z) —-> y=[8*(1+z)]/10
Απλοποιούμε με το 2 κι’ έχουμε:
y=[8*(1+z)]/10 —-> y=[4*(1+z)]/5 (3)
Τα «x», «y», και «z» είναι θετικοί ακέραιοι αριθμοί. οπότε από τη (3) βλέπουμε ότι το «1+z» θα πρέπει να είναι πολλαπλάσιο του 5, δηλαδή «1+z»=5, 10, 15…
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση
των ακέραιων ριζών. Η τιμή του “z” πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίνοντας στο «z» τις τιμές από το 1 έως το «n», με δοκιμές βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό «y» είναι: z=29 (4)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του “z” στη (3) κι’ έχουμε:
y=[4*(1+z)]/5 —-> y=[4*(1+29)]/5 —-> y=(4*30)/5 —-> y=120/5 —-> y=24 (5)
Αντικαθιστούμε τη (5) στην (1) κι’ έχουμε:
19x= 7 + 10y —-> 19x=[7+(10*24)] —-> 19x=7+240 —-> 19x=247 —->
x=247/19 —-> x=13 (6)
Επαλήθευση:
19x= 7 + 10y —->19*13=[7+(10*24)] —-> 19*13=7+240 =247
19x= 15 + 8z —-> 19*13=[15+(8*29)] —–> 19*13=15+232=247 ο.ε.δ.