’’Εμπορος ἠγόρασεν ἵππους καὶ βόας μαζῆ διὰ 1.770 τάλαντα καὶ ἐπλήρωσε δι’ ἕκαστον ἵππον 31 τάλαντα καὶ δι’ ἕκαστον βοὺν 21 τάλαντα.
Διευκρίνιση:
Σ. Σούτσου και Α. Ρίζου Ραγκαβή, Συλλογή προβλημάτων, τόμος Ι, Βασιλική τυπογραφία, Αθήνα, 1836, Πρόβλημα 24, σελίς 281.
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Kώστα καλημέρα και καλή εβδομάδα.
Από τους 21 γρίφους που σου έστειλα χθες, διέγραψε τον 21ο, διότι αναρτήθηκε σήμερα.
Επίσης στο σημερινό γράψε:
“Προτάθηκε από Carlo de Grandi”
Φιλικά,
Carlo
Έστω α ο αριθμός των ίππων και β ο αριθμός των βοών.
Ισχύουν : 31*α + 21*β = 1770 και 0 < α < 58 και 0 < β < 85.
31α + 21β = 1770
31α + 31β – 10β = 1767 + 3
31α + 31β – 1767 = 10β + 3
31*(α + β – 57) = 10β + 3
Ο αριθμός (10β+3) έχει ψηφίο μονάδων το 3, είναι πολλαπλάσιο του 31 και είναι μικρότερος του 853.
Οι μοναδικοί τρεις αριθμοί που ικανοποιούν τα παραπάνω είναι οι 93, 403 και 713.
Άρα 10β + 3 = 93 ή 10β + 3 = 403 ή 10β + 3 = 713
10β = 90 ή 10β = 400 ή 10β = 710
β = 9 ή β = 40 ή β = 71
Αν β = 9, τότε α = 51, επομένως αγόρασε 51 ίππους και 9 βόες
Αν β = 40, τότε α = 30, επομένως αγόρασε 30 ίππους και 40 βόες
Αν β = 71, τότε α = 9, επομένως αγόρασε 9 ίππους και 71 βόες
Το πρόβλημα έχει τρεις λύσεις:
Λύση Ίπποι Βόδια
1η 9 71
2η 30 40
3η 51 9
Έστω «x» οι Ίπποι, και «y» τα βόδια. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε την εξίσωση:
31x+21y=1.770 (1)
31x+21y=1.770 —> 31x=1.770-21y —-> x=(1.770-21y)/31 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση
των ακέραιων ριζών. Η τιμή του “y” πρέπει να είναι ένας αριθμός θετικός και ακέραιος, συνεπώς δίνοντας στο «y» τις τιμές από το 1 έως το «n», με δοκιμές βλέπουμε ότι οι μοναδικές τιμές που ικανοποιούν τη συνθήκη και δίνουν ακέραιο αριθμό «x» είναι: y=71, 40, και 9 (4)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του “y” στη (2) κι’ έχουμε:
(α) x=(1.770-21y)/31 —> x=[1.770-(21*71)]/31 —-> x=(1.770- 1.491)/31 —>
x=279/31 —> x=9
(β) x=(1.770-21y)/31 —-> x=[1.770-(21*40)]/31 —-> x=(1.770- 840)/31 —->
x=930/31 —-> x=30
(γ) x=(1.770-21y)/31 —-> x=[1.770-(21*9)]/31 —-> x=(1.770-189)/31 —–>
x= 1.581/31 —-> x=51
Επαλήθευση:
(α)31x+21y=1.770 —-> [(31*9)+(21*71)]=1.770 —-> 279+1.491=1.770
(β)31x+21y=1.770 —-> [(31*30)+(21*40)]=1.770 —–> 930+840=1.770
(γ)31x+21y=1.770 —-> [(31*51)+(21*9)]=1.770 —–> 1.581+189=1.770 ο.ε.δ.
Συμπληρωματική Λύση του Voulagx.
Συμπληρωματικα στην ωραια λυση του κ.Κοθρη.
Έστω α ο αριθμός των ίππων και β ο αριθμός των βοών.
Ισχύουν : 31*α + 21*β = 1770 και 0 < α < 58 και 0 < β < 85.
31α + 21β = 1770 (1)
31α + 31β – 10β = 1767 + 3
31α + 31β – 1767 = 10β + 3
31*(α + β – 57) = 10β + 3 (2)
Απο την σχεση (2) , εφαρμοζοντας το θεωρημα του K. Conrad, εχουμε:
31/10β+3 31/β+(-3)*3=β-9 ( αφου: 31/10*(-3)-1=-31 )
Εστω: 31λ=β-9 => 0 -9<31λ -9/31
α=1581/31-21λ=> α=51-21λ
Ωστε: α=51-21λ και: β=31λ+9, με λΕ{0,1,2}.
Για λ=0: α=51-21*0=51, β=31*0+9=9
Για λ=1: α=51-21*1=30, β=31*1+9=40
Για λ=2: α=51-21*2=9, β=31*2+9=71
ΥΓ: Το θεωρημα του K. Conrad στη σελιδα 14 του λινκ (Θεώρημα 4.6.):
http://users.uoi.gr/abeligia/NumberTheory/NT2014/NT_TheoreticalTopics2014.pdf
Λόγω του ότι υπήρξε πρόβλημα στην αντιγραφή αναρτώ εκ νέου τη λύση του Voulagx.
Συμπληρωματική Λύση του Voulagx.
Συμπληρωματικα στην ωραια λυση του κ.Κοθρη
Έστω α ο αριθμός των ίππων και β ο αριθμός των βοών.
Ισχύουν : 31*α + 21*β = 1770 και 0 < α < 58 και 0 < β < 85.
31α + 21β = 1770 (1)
31α + 31β – 10β = 1767 + 3
31α + 31β – 1767 = 10β + 3
31*(α + β – 57) = 10β + 3 (2)
Απο την σχεση (2) , εφαρμοζοντας το θεωρημα του K. Conrad, εχουμε:
31/10β+3 31/β+(-3)*3=β-9 ( αφου: 31/10*(-3)-1=-31 )
Εστω: 31λ=β-9 . Τοτε:
0<β=31λ+9<85
-9<31λ<76
-9/31<λ<76/31=2,45..
άρα λΕ{0,1,2}.
Αντικαθιστωντας το: β=31λ+9 στην (1) εχουμε:
31α=1770-21β=1770-21*(31λ+9)=1770-21*31λ-21*9=1581-21*31λ
α=1581/31-21λ
α=51-21λ
Ωστε: α=51-21λ και: β=31λ+9, με λΕ{0,1,2}.
Για λ=0: α=51-21*0=51, β=31*0+9=9
Για λ=1: α=51-21*1=30, β=31*1+9=40
Για λ=2: α=51-21*2=9, β=31*2+9=71
ΥΓ: Το θεωρημα του K. Conrad στη σελιδα 14 του λινκ (Θεώρημα 4.6.):
http://users.uoi.gr/abeligia/NumberTheory/NT2014/NT_TheoreticalTopics2014.pdf