Ο γρίφος της ημέρας - "Η εφημερίδα" (για δυνατούς λύτες)

Ο Αλέκος σε εποχή κρίσης επένδυσε στην δημιουργία μια εικοσασέλιδης εφημερίδας ποικίλης ύλης με τίτλο Alecos Daily News.

Η εφημερίδα τυπώνεται σε 5 διπλά φύλλα.

Επιλέγουμε ένα διπλό φύλλο στην τύχη.

Όλως τυχαίως σε ένα από τα άρθρα του συγκεκριμένου φύλλου έχει αφιέρωμα στον Γερμανό μαθηματικό K.F.Gauss.

Ποιο είναι το άθροισμα των αριθμών των τεσσάρων σελίδων του;

Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα

Σχετικά

Carlo de Grandi 18/10/2017

Ο μεγάλος Γερμανός μαθηματικός, αποκαλούμενος και Πρίγκιπας των Μαθηματικών,
φυσικός και αστρονόμος Κάρολος Φρειδερίκος Γκάους (Johann Carl Friedrich Gauß/Gauss) (1777-1855), τον οποίο ο επίσης μεγάλος Γάλλος μαθηματικός, φυσικός και αστρονόμος Πέτρος-Σίμωνας Λαπλάς (Pierre-Simon Laplace) (1749-1827), τον είχε χαρακτηρίσει σαν τον μεγαλύτερο μαθηματικό της εποχής του, υπήρξε μία ιδιοφυΐα από μικρό παιδί, ήταν ένα παιδί-θαύμα! Από φτωχή οικογένεια μαθητής του δημοτικού σχολείου στο Δουκάτο του Brownswick της Γερμανίας, στη πόλη όπου γεννήθηκε, έδειξε σε ηλικία μόλις 3 ετών(!) τις μαθηματικές του ικανότητες.
Μια μέρα του 1780 καθόταν στο σκαλί της εξώπορτα του πατρικού σπιτιού στο Brownswick (Μπρoουνσβαϊκ) κι έπαιζε. Μέσα στο σπίτι, ο πατέρας του, ο Γκέμπχαρντ, αρχιτεχνίτης λιθοξόος, πλήρωνε τα μεροκάματα των εργατών του.
«Λοιπόν», έλεγε σ’ έναν εργάτη, «έχουμε 34 και 29 και 19 πένες, το όλον… 76».
Καμία αντίρρηση από τον εργάτη. Όση αριθμητική ήξερε το αφεντικό του, άλλη τόση (και λιγότερη) ήξερε κι ο ίδιος. Αλλά ο Καρλ είχε άλλη γνώμη. Σηκώθηκε όρθιος και είπε:
«Πατέρα, κάποιο λάθος έχει γίνει. Πρέπει να είναι 82 πένες».
Ο πατέρας του ξαφνιάστηκε (δυσάρεστα), αλλά ξανάκανε την πρόσθεση πιο προσεκτικά.82 πένες. Είχε δίκιο το νήπιο! Ο Γκέμπχαρντ κοίταξε τον γιο του σκεπτικός. Δεν χαιρόταν με την εξυπνάδα του. Δεν ήταν καιρός να είναι κανείς πολύ έξυπνος. Ποτέ δεν είναι καιρός να είναι κανείς πολύ έξυπνος.
Πέντε χρόνια αργότερα, σε ηλικία 8 ετών, ο Καρλ πήγαινε στη δευτέρα δημοτικού. Ο δάσκαλός του, ο κύριος J.G. Brüttner, είχε να κάνει ζάφτι περίπου 100 μαθητές (αγόρια, εννοείται) και συχνά-πυκνά, για να κρατάει την τάξη, έκανε χρήση τής πολύ πειστικής βέργας του. Μια μέρα, δύσκολη χωρίς αμφιβολία, είπε να τους βάλει να κάνουν μια εργασία μπελαλίδικη, έτσι ώστε να βρει την ησυχία του. Τους είπε:
«Να προσθέσετε όλους τους ακέραιους αριθμούς από το 1 ως το 100. Όποιος τελειώνει να φέρνει την πλάκα του στην έδρα και να τη βάζει ανάποδα.»
Πήγε κι έκαστε στην έδρα σίγουρος ότι για τουλάχιστον μία ώρα θ’ απασχολούσε όλη τη τάξη. Δεν πέρασαν πέντε λεπτά και ο Καρλ σηκώθηκε, πήγε στην έδρα και ακούμπησε εκεί την πλάκα του ανάποδα με τη λύση του προβλήματος γραμμένη εκπλήσσοντας τόσο τον δάσκαλο όσο και τον βοηθό του Martin Bartels. Ο κύριος J.G. Brüttner και μ’ ένα ειρωνικό μειδίαμα στην αρχή, με τη σιγουριά ότι ήταν αδύνατον να είχε λύση το πρόβλημα, συννέφιασε. Ήταν βέβαιος ότι ο μικρός τον δούλευε και του το είπε, αλλά ο Καρλ δήλωσε με σθένος ότι είχε λύσει την άσκηση σωστά. Τον άφησε να γυρίσει στη θέση του, σκεπτόμενος ότι όταν ερχόταν η ώρα θα μιλούσε η βέργα. Από περιέργεια, κρυφοκοίταξε το χαρτάκι με τον αποτέλεσμα που είχε στην τσέπη του: 5.050. Μετά γύρισε την πλάκα του Καρλ: 5.050! Μα πώς;! Και ούτε πράξεις στην πλάκα ούτε τίποτα, μόνο εκείνο το 5.050, σκέτο. Τελικά αναγκάσθηκε να παραδεχθεί ότι το αποτέλεσμα της προσθέσεως ήταν απολύτως σωστό με το τρόπο που είχε σκεφθεί ο νεαρός Γκάους.
Όταν σχολάσανε, ο δάσκαλος κράτησε τον Καρλ και τον ρώτησε:
-«Πώς τα κατάφερες και έκανες την πρόσθεση τόσο γρήγορα;»
-«Δεν έκανα πρόσθεση».
-«Αλλά;»
-«Σκέφτηκα λιγάκι ολόκληρη τη σειρά των αριθμών και βρήκα κάτι ενδιαφέρον. Από τις άκρες προς τα μέσα, τα ζεύγη έδιναν το ίδιο άθροισμα: 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101 και τα λοιπά, μέχρι το 50+51=101. Είχα δηλαδή 50 ζεύγη με επιμέρους άθροισμα 101. Αντί να κάνω πρόσθεση, έκανα πολλαπλασιασμό: 50×101=5.050».
Ο Γκάους σκέφθηκε ως εξής:
1+100=101
2+99=101
3+98=101
…
…
50+51=101
Δηλαδή επανέλαβε το 101 πενήντα φορές, 101*50=5.050. Βλέπε πίνακα ανωτέρω. Άρα
101*50=1+2+3+4+…+Ν=1+2+3+ 4+…+100=5.050.
Βασικά υπάρχει τύπος που λέει ότι το άθροισμα ν όρων μιας αριθμητικής προόδου
(ακολουθίας όπου ο επόμενος όρος προκύπτει από τον προηγούμενο + σταθερά ω) με πρώτο όρο τον Α1 είναι Α1+Α2+…+Αν = ν/2 [2*Α1+(ν-1)ω] . Στην περίπτωσή μας ν=100, ω=1 και Α1=1, οπότε και έχουμε το αποτέλεσμα 5.050.
Το ανωτέρω αποτέλεσμα βρίσκεται και από τον εξής τύπο της αριθμητικής προόδου:
Σο=[(α+τ)*ν]/2
Σο= Συνολικό Άθροισμα.
α = Ο Πρώτος Όρος.
τ = Ο Τελευταίος Όρος.
ν = Το Πλήθος των Όρων
Σο=[(α+τ)*ν]/2 —> Σο=[(1+100)*100]/2 —-> Σο=101*50 —> Σο=5.050
Ο κύριος J.G. Brüttner τον άφησε να φύγει και αργότερα πήγε και βρήκε τον Γκέμπχαρντ Γκάους για να του πει ότι μεγάλωνε μια ιδιοφυία. Ο γερο-Γκάους δεν εντυπωσιάστηκε γιατί για κείνον μόνο η χειρωνακτική δουλειά είχε νόημα. Τελικά, όμως, ο Καρλ βρήκε τον δρόμο του και, αντί να γίνει λιθοξόος όπως ονειρευόταν ο πατέρας του, έγινε ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών.
Ο Γκάους γενικά δεν εξηγούσε λεπτομερώς στις αποδείξεις του το πώς πήγε από το Α στο Β. Ήταν εξαιρετικά λιτός στην εξήγηση των βημάτων. Όταν τον ρωτούσαν γιατί δεν ήταν περισσότερο αναλυτικός, έτσι ώστε να διευκολύνει τους αναγνώστες του, έλεγε:
«Όταν οι χτίστες τελειώνουν έναν καθεδρικό ναό, κατεβάζουν τη σκαλωσιά για να φανερωθεί το κτίσμα σε όλο του το μεγαλείο».
[Αυτές οι δύο ιστορίες αναφέρονται σχεδόν σε όλες τις βιογραφίες του Γκάους (ενδεικτικά μία ελληνική έκδοση: M.B.W. Tent, «Καρλ Φρίντριχ Γκάους. Ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών», μετάφραση: Στάμος Τσιτσώνης, Τραυλός 2007) και σε πολλές εκλαϊκευτικές ιστορίες των μαθηματικών. Δεν είναι βέβαιο ότι έχουν συμβεί στην πραγματικότητα, αλλά αυτό -ως γνωστόν- δεν έχει απολύτως καμία σημασία.]
Πηγή:http://www.huffingtonpost.gr/dimartblogcom/-_2046_b_8330924.html

Με το ίδιο σκεπτικό λύνεται και το σημερινό πρόβλημα.
1+20 =21
2+19=21
3+18=21
4+17=21
5+16=21
6+15=21
7+14=21
8+13=21
9+12=21
10+11=21
Δηλαδή επαναλαμβάνουμε το 21 δέκα φορές, 21*10=210, το συνολικό άθροισμα των 20 σελίδων.
Σο=[(α+τ)*ν]/2 —> Σο=[(1+20)*20]/2 —-> Σο=21*10 —> Σο=210
Επειδή η εφημερίδα αποτελείται από 5 διπλά φύλα των 4 σελίδων έχουμε ανά φύλο άθροισμα σελίδων 42 (5:210)
Παραδείγματος Χάριν:
1+20=21
2+19=21
Σύνολο:42
Άρα το άθροισμα των αριθμών των τεσσάρων σελίδων του είναι 42.

2 σχόλια

Μάνος Κοθρής 18/10/2017

Το άθροισμα των αριθμών σε κάθε 2-φυλλο (ή 4-σέλιδο) είναι 42.

Στο 1ο έχουμε τους αριθμούς 1, 2, 19 και 20 στις σελίδες.
Στο 2ο έχουμε τους αριθμούς 3, 4, 17 και 18 στις σελίδες.
Στο 3ο έχουμε τους αριθμούς 5, 6, 15 και 16 στις σελίδες.
Στο 4ο έχουμε τους αριθμούς 7, 8, 13 και 14 στις σελίδες.
Τέλος στο 5ο (κεντρικό) έχουμε τους αριθμούς 9, 10, 11 και 12 στις σελίδες.
Carlo de Grandi 18/10/2017

Ο μεγάλος Γερμανός μαθηματικός, αποκαλούμενος και Πρίγκιπας των Μαθηματικών,
φυσικός και αστρονόμος Κάρολος Φρειδερίκος Γκάους (Johann Carl Friedrich Gauß/Gauss) (1777-1855), τον οποίο ο επίσης μεγάλος Γάλλος μαθηματικός, φυσικός και αστρονόμος Πέτρος-Σίμωνας Λαπλάς (Pierre-Simon Laplace) (1749-1827), τον είχε χαρακτηρίσει σαν τον μεγαλύτερο μαθηματικό της εποχής του, υπήρξε μία ιδιοφυΐα από μικρό παιδί, ήταν ένα παιδί-θαύμα! Από φτωχή οικογένεια μαθητής του δημοτικού σχολείου στο Δουκάτο του Brownswick της Γερμανίας, στη πόλη όπου γεννήθηκε, έδειξε σε ηλικία μόλις 3 ετών(!) τις μαθηματικές του ικανότητες.
Μια μέρα του 1780 καθόταν στο σκαλί της εξώπορτα του πατρικού σπιτιού στο Brownswick (Μπρoουνσβαϊκ) κι έπαιζε. Μέσα στο σπίτι, ο πατέρας του, ο Γκέμπχαρντ, αρχιτεχνίτης λιθοξόος, πλήρωνε τα μεροκάματα των εργατών του.
«Λοιπόν», έλεγε σ’ έναν εργάτη, «έχουμε 34 και 29 και 19 πένες, το όλον… 76».
Καμία αντίρρηση από τον εργάτη. Όση αριθμητική ήξερε το αφεντικό του, άλλη τόση (και λιγότερη) ήξερε κι ο ίδιος. Αλλά ο Καρλ είχε άλλη γνώμη. Σηκώθηκε όρθιος και είπε:
«Πατέρα, κάποιο λάθος έχει γίνει. Πρέπει να είναι 82 πένες».
Ο πατέρας του ξαφνιάστηκε (δυσάρεστα), αλλά ξανάκανε την πρόσθεση πιο προσεκτικά.82 πένες. Είχε δίκιο το νήπιο! Ο Γκέμπχαρντ κοίταξε τον γιο του σκεπτικός. Δεν χαιρόταν με την εξυπνάδα του. Δεν ήταν καιρός να είναι κανείς πολύ έξυπνος. Ποτέ δεν είναι καιρός να είναι κανείς πολύ έξυπνος.
Πέντε χρόνια αργότερα, σε ηλικία 8 ετών, ο Καρλ πήγαινε στη δευτέρα δημοτικού. Ο δάσκαλός του, ο κύριος J.G. Brüttner, είχε να κάνει ζάφτι περίπου 100 μαθητές (αγόρια, εννοείται) και συχνά-πυκνά, για να κρατάει την τάξη, έκανε χρήση τής πολύ πειστικής βέργας του. Μια μέρα, δύσκολη χωρίς αμφιβολία, είπε να τους βάλει να κάνουν μια εργασία μπελαλίδικη, έτσι ώστε να βρει την ησυχία του. Τους είπε:
«Να προσθέσετε όλους τους ακέραιους αριθμούς από το 1 ως το 100. Όποιος τελειώνει να φέρνει την πλάκα του στην έδρα και να τη βάζει ανάποδα.»
Πήγε κι έκαστε στην έδρα σίγουρος ότι για τουλάχιστον μία ώρα θ’ απασχολούσε όλη τη τάξη. Δεν πέρασαν πέντε λεπτά και ο Καρλ σηκώθηκε, πήγε στην έδρα και ακούμπησε εκεί την πλάκα του ανάποδα με τη λύση του προβλήματος γραμμένη εκπλήσσοντας τόσο τον δάσκαλο όσο και τον βοηθό του Martin Bartels. Ο κύριος J.G. Brüttner και μ’ ένα ειρωνικό μειδίαμα στην αρχή, με τη σιγουριά ότι ήταν αδύνατον να είχε λύση το πρόβλημα, συννέφιασε. Ήταν βέβαιος ότι ο μικρός τον δούλευε και του το είπε, αλλά ο Καρλ δήλωσε με σθένος ότι είχε λύσει την άσκηση σωστά. Τον άφησε να γυρίσει στη θέση του, σκεπτόμενος ότι όταν ερχόταν η ώρα θα μιλούσε η βέργα. Από περιέργεια, κρυφοκοίταξε το χαρτάκι με τον αποτέλεσμα που είχε στην τσέπη του: 5.050. Μετά γύρισε την πλάκα του Καρλ: 5.050! Μα πώς;! Και ούτε πράξεις στην πλάκα ούτε τίποτα, μόνο εκείνο το 5.050, σκέτο. Τελικά αναγκάσθηκε να παραδεχθεί ότι το αποτέλεσμα της προσθέσεως ήταν απολύτως σωστό με το τρόπο που είχε σκεφθεί ο νεαρός Γκάους.
Όταν σχολάσανε, ο δάσκαλος κράτησε τον Καρλ και τον ρώτησε:
-«Πώς τα κατάφερες και έκανες την πρόσθεση τόσο γρήγορα;»
-«Δεν έκανα πρόσθεση».
-«Αλλά;»
-«Σκέφτηκα λιγάκι ολόκληρη τη σειρά των αριθμών και βρήκα κάτι ενδιαφέρον. Από τις άκρες προς τα μέσα, τα ζεύγη έδιναν το ίδιο άθροισμα: 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101 και τα λοιπά, μέχρι το 50+51=101. Είχα δηλαδή 50 ζεύγη με επιμέρους άθροισμα 101. Αντί να κάνω πρόσθεση, έκανα πολλαπλασιασμό: 50×101=5.050».
Ο Γκάους σκέφθηκε ως εξής:
1+100=101
2+99=101
3+98=101
…
…
50+51=101
Δηλαδή επανέλαβε το 101 πενήντα φορές, 101*50=5.050. Βλέπε πίνακα ανωτέρω. Άρα
101*50=1+2+3+4+…+Ν=1+2+3+ 4+…+100=5.050.
Βασικά υπάρχει τύπος που λέει ότι το άθροισμα ν όρων μιας αριθμητικής προόδου
(ακολουθίας όπου ο επόμενος όρος προκύπτει από τον προηγούμενο + σταθερά ω) με πρώτο όρο τον Α1 είναι Α1+Α2+…+Αν = ν/2 [2*Α1+(ν-1)ω] . Στην περίπτωσή μας ν=100, ω=1 και Α1=1, οπότε και έχουμε το αποτέλεσμα 5.050.
Το ανωτέρω αποτέλεσμα βρίσκεται και από τον εξής τύπο της αριθμητικής προόδου:
Σο=[(α+τ)*ν]/2
Σο= Συνολικό Άθροισμα.
α = Ο Πρώτος Όρος.
τ = Ο Τελευταίος Όρος.
ν = Το Πλήθος των Όρων
Σο=[(α+τ)*ν]/2 —> Σο=[(1+100)*100]/2 —-> Σο=101*50 —> Σο=5.050
Ο κύριος J.G. Brüttner τον άφησε να φύγει και αργότερα πήγε και βρήκε τον Γκέμπχαρντ Γκάους για να του πει ότι μεγάλωνε μια ιδιοφυία. Ο γερο-Γκάους δεν εντυπωσιάστηκε γιατί για κείνον μόνο η χειρωνακτική δουλειά είχε νόημα. Τελικά, όμως, ο Καρλ βρήκε τον δρόμο του και, αντί να γίνει λιθοξόος όπως ονειρευόταν ο πατέρας του, έγινε ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς όλων των εποχών.
Ο Γκάους γενικά δεν εξηγούσε λεπτομερώς στις αποδείξεις του το πώς πήγε από το Α στο Β. Ήταν εξαιρετικά λιτός στην εξήγηση των βημάτων. Όταν τον ρωτούσαν γιατί δεν ήταν περισσότερο αναλυτικός, έτσι ώστε να διευκολύνει τους αναγνώστες του, έλεγε:
«Όταν οι χτίστες τελειώνουν έναν καθεδρικό ναό, κατεβάζουν τη σκαλωσιά για να φανερωθεί το κτίσμα σε όλο του το μεγαλείο».
[Αυτές οι δύο ιστορίες αναφέρονται σχεδόν σε όλες τις βιογραφίες του Γκάους (ενδεικτικά μία ελληνική έκδοση: M.B.W. Tent, «Καρλ Φρίντριχ Γκάους. Ο Πρίγκιπας των Μαθηματικών», μετάφραση: Στάμος Τσιτσώνης, Τραυλός 2007) και σε πολλές εκλαϊκευτικές ιστορίες των μαθηματικών. Δεν είναι βέβαιο ότι έχουν συμβεί στην πραγματικότητα, αλλά αυτό -ως γνωστόν- δεν έχει απολύτως καμία σημασία.]
Πηγή:http://www.huffingtonpost.gr/dimartblogcom/-_2046_b_8330924.html

Με το ίδιο σκεπτικό λύνεται και το σημερινό πρόβλημα.
1+20 =21
2+19=21
3+18=21
4+17=21
5+16=21
6+15=21
7+14=21
8+13=21
9+12=21
10+11=21
Δηλαδή επαναλαμβάνουμε το 21 δέκα φορές, 21*10=210, το συνολικό άθροισμα των 20 σελίδων.
Σο=[(α+τ)*ν]/2 —> Σο=[(1+20)*20]/2 —-> Σο=21*10 —> Σο=210
Επειδή η εφημερίδα αποτελείται από 5 διπλά φύλα των 4 σελίδων έχουμε ανά φύλο άθροισμα σελίδων 42 (5:210)
Παραδείγματος Χάριν:
1+20=21
2+19=21
Σύνολο:42
Άρα το άθροισμα των αριθμών των τεσσάρων σελίδων του είναι 42.

Ο γρίφος της ημέρας – “Η εφημερίδα” (για δυνατούς λύτες)

Μου αρέσει αυτό:

Σχετικά

2 σχόλια

ΑπάντησηΑκύρωση απάντησης

Κοινοποιήστε:

Μου αρέσει αυτό:

Σχετικά

2 σχόλια

ΑπάντησηΑκύρωση απάντησης