Όταν ρωτήθηκε ο πρόεδρος των συνδικαλιστών του κλάδου των πυρηνικών υδραυλικών για την συμμέτοχη των πυρηνικών υδραυλικών στην απεργία της Τετάρτης (06/11/2013) . Ο πρόεδρος απάντησε, όπως μόνο ένα πυρηνικός υδραυλικός μπορεί να απαντήσει:
-“Το πλήθος των απεργών είναι τετραψήφιος αριθμός, είναι τέλειο τετράγωνο και εάν αυξήσουμε όλα τα ψηφία του κατά μια μονάδα, τότε ο νέος αριθμός που προκύπτει είναι επίσης τέλειο τετράγωνο!”
Πόσοι είναι οι απεργοί πυρηνικοί υδραυλικοί;
( Crux Mathematicorum)
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Οι απεργοι πυρηνικοί υδραυλικοί ήταν 2025.
Έστω χ^2 ο αριθμός των απεργών.
Αν αυξήσουμε κάθε ψηφίο του τετραψήφιου αριθμού κατά 1 ο αριθμός αυξάνεται κατά 1111.
Είναι χ^2+1111=ψ^2
Ψ^2-χ^2=1111
(ψ-χ)*(ψ+χ)=11*101
Άρα ψ-χ=11 και ψ+χ=101
Λύνουμε το σύστημα και βρίσκουμε χ=45 και ψ=56
Επομένως οι απεργοί είναι χ^2=45^2=2025
και 3136 = 56^2
Αν α το πληθος των απεργων τοτε:
α=κ^2 και α+1111=λ^2
Αφαιρωντας κατα μελη εχουμε:
λ^2-κ^2=1111
(λ-κ)*(λ+κ)=11*101
Πρεπει: λ+κ=101 και λ-κ=11
Η λυση του συστηματος δινει: λ=56 και κ=45
οποτε: α=45^2=2025.
Αν το πλήθος των απεργών είναι α^2, τότε α^2+1111=β^2, όπου α,β θετικοί ακέραιοι με β>α. Έτσι:
β^2-α^2=1111 => (β+α)(β-α)=101*11 και αφού οι 101 και 11 είναι πρώτοι:
β+α=101 και β-α=11 => α=45, β=56.
Το πλήθος των απεργών είναι 45^2=2025
45
Υπάρχει φυσικά και η περίπτωση β+α=1111 και β-α=1 που δίνει α=555, β=556, αλλά τότε θα ήταν α^2=308025, εξαψήφιος, άτοπο.
Επειδή δεν υπάρχει τίποτα για να προσθέσω στις ήδη ανωτέρω αναφερθείσες λύσεις, θα προσθέσω μόνο τη πηγή λήψεως του προβλήματος 🙂 🙂
Πηγή: http://mathhmagic.blogspot.gr/2013/11/blog-post_3968.html#more.
του μαθηματικού Αθανάσιου Δρούγα.