Ο γρίφος της ημέρας – “Πίτσες” (για δυνατούς λύτες)

...5

 Η Μαρία  έκοψε μια κυκλική πίτσα σε δυο κομμάτια με ένα κόψιμο σε σχήμα της πολυγωνικής γραμμής ΑΒΓΔΕ  με τις κορυφές της να βρίσκονται πάνω στον κύκλο και οι γωνίες 45ο (σχήμα).

Η Μαρία  κράτησε το ένα κομμάτι (το γραμμοσκιασμένο ) και έδωσε το άλλο στον Γιάννη.

Ποιος έφαγε περισσότερο;

 

Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα

5 σχόλια

  2. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Καθένα από τα τόξα ΑΓ, ΓΕ είναι 90°, αφού οι εγγεγραμμένες γωνίες που βλέπουν σε αυτά είναι 45°. Επομένως το τόξο ΑΓ+ΓΕ=ΑΔ είναι 180° και το τμήμα ΑΔ είναι διάμετρος της πίτσας και τη χωρίζει σε δύο ισεμβαδικά ημικύκλια. Έτσι, όσο περισσότερο λευκό εμβαδό από ό,τι γραμμοσκιασμένο περιέχει το ένα ημικύκλιο, τόσο περισσότερο γραμμοσκιασμένο από ό,τι λευκό θα περιέχει το άλλο ημικύκλιο.
    Άρα και οι δύο θα φάνε ακριβώς από 1/2 της πίτσας.

  3. Θανάσης Παπαδημητρίου

    Βιαστικό το πιο πάνω σχόλιο, αποσύρεται.

  5. voulagx

    Συμφωνα με το σχημα του κ.Δρουγα στο παραπανω λινκ:

    Προφανως η ΑΕ ειναι διαμετρος του κυκλου.
    Εστω Ζ και Η τα σημεια τομης της ΑΕ με τις ΒΓ και ΓΔ, αντιστοιχα.
    Αν Κ το κεντρο του κυκλου, θετω: ΚΒ=ΚΔ=ΚΓ=ρ και:
    <ΚΖΓ=<ΒΖΑ=ω, <ΚΗΓ=<ΔΗΕ=θ, ω+θ=135,
    <ΚΒΓ=<ΚΓΒ=90-ω αρα <ΒΚΓ=2ω
    <ΚΔΓ=<ΚΓΔ=90-θ αρα <ΓΚΔ=2θ,
    <ΑΒΖ=<ΖΓΗ=<ΗΔΕ=45
    Τα τριγωνα ΒΑΖ, ΖΗΓ, ΔΗΕ ειναι ομοια.

    Ειναι: ημω=ρ/(ΖΓ) ή (ΖΓ)=ρ/ημω

    Νομος ημιτονων στο τριγωνο ΒΓΚ:
    ρ/ημ(90-ω)=(ΒΓ)/ημ2ω ή (ΒΓ)=ρ*ημ2ω/συνω
    (ΒΓ)=ρ*2ημω
    Ειναι:
    (ΒΖ)=(ΒΓ)-(ΖΓ)=ρ*ημ2ω-ρ/ημω=ρ*(2(ημω)^2-1)/ημω
    (ΒΖ)=-ρ*συν2ω/ημω

    Ο λογος ομοιοτητας των τριγωνων ΒΑΖ προς ΖΗΓ ειναι:

    (ΒΖ)/(ΖΓ)=(-ρ*συν2ω/ημω)/(ρ/ημω)=-συν2ω

    Με παρομοια διαδικασια βρισκουμε οτι ο λογος ομοιοτητας των τριγωνων ΗΔΕ προς ΖΗΓ ειναι:

    (ΔΗ)/(ΗΓ)=-συν2θ=-συν(2*(135-ω))=-συν(270-2ω)=ημ2ω

    Οποτε εχουμε:

    (ΒΑΖ)/(ΖΗΓ)+((ΗΔΕ)/(ΖΗΓ)=(-συν2ω)^2+(ημ2ω)^2=1
    (ΒΑΖ)+(ΗΔΕ)=(ΖΗΓ)

    Αρα τα δυο ημικυκλια (ανω και κατω) ανταλλασσουν μεταξυ τους ισεμβαδικες επιφανειες, που σημαινει οτι η Μαρια ηταν ακριβοδικαιη στην μοιρασια της πιτσας.

    Με τον συμβολισμο του κ. Δρουγα (<ΑΚΒ=φ, 90+φ=2ω) οι λογοι ομοιοτητας ειναι:
    -συν2ω=ημφ και: ημ2ω=συνφ.

Απάντηση