Τρεις φίλοι αγόρασαν από μια μοτοσυκλέτα, Α (BMW), Β (Honda), και Γ (Yamaha).
Ο πωλητής, για την εξόφληση των μοτοσυκλετών, ζήτησε από τον καθένα να του δώσει αρχικά μια προκαταβολή και στη συνέχεια να πληρώνει μια συγκεκριμένη δόση κάθε μήνα.
Οι τρεις φίλοι έδωσαν το ίδιο ποσό χρημάτων για προκαταβολή και συμφώνησαν να πληρώνουν την ίδια μηνιαία δόση.
Το ποσό της μηνιαίας δόσης είναι ένας ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος από 100€.
Εάν το συνολικό κόστος των μοτοσικλετών είναι 3.000€ για την μοτοσυκλέτα Α, 3.315€ για την μοτοσυκλέτα Β, και 3.840€ για την μοτοσυκλέτα Γ, να υπολογίσετε το ποσό της μηνιαίας δόσης.
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Αφού πλήρωσαν την ίδια προκαταβολή και πληρώνουν την ίδια μηνιαία δόση, οι διαφορές των τιμών των μοτοσυκλετών είναι πολλαπλάσια της δόσης ή αλλιώς η δόση είναι κοινός διαιρέτης των διαφορών.
3840 – 3315 = 525
3315 – 3000 = 315
Ο Μ.Κ.Δ των 525 και 315 και ο μόνος κοινός διαιρέτης τους που υπερβαίνει το 100 είναι το 105.
Επομένως κάθε δόση είναι 105 ευρώ.
60 € προκαταβολή και 105 € δόση
Η προκαταβολή είναι
60 + 105*ν, όπου ν φυσικός μικρότερος του 29
Συγχαρητήρια και στους δύο. Οι απαντήσεις σας είναι σωστές.
Λύση:
Η κοινή προκαταβολή είναι 60€. Το ποσό της μηνιαίας δόσης ανέρχεται στα 105€. Και οι δόσεις που οφείλει ο καθένας είναι, για την μοτοσυκλέτα «Α» 28, για την μοτοσυκλέτα «Β» 31, και για την μοτοσυκλέτα «Γ» 36. Έστω «α» το ποσό της κοινής προκαταβολής και «β» το ποσό της κοινής μηνιαίας δόσης και κ, λ, μ οι δόσεις των αγοραστών Α, Β, Γ αντίστοιχα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
3.000-α=βκ (1)
3.315-α=βλ (2)
3.840-α=βμ (3)
Αφαιρούμε κατά μέλη, κυκλικά, τις παραπάνω εξισώσεις κι έχουμε:
3.840-α=βμ
-3.000+α= -βκ
840=β(μ-κ) (4)
3.840-α=βμ
-3.315+α= -βλ
525=β(μ-λ) (5)
3.315-α=βλ
-3.000+α= -βκ
315=β(λ-κ) (6)
Αναλύοντας τους αριθμούς 840, 525, 315 σε γινόμενα πρώτων παραγόντων έχουμε:
840=2*2*2*5*3*7=8*105
525=5*5*3*7=5*105
315= 3*5*3*7=3*105
βρίσκουμε ότι ο μονός κοινός διαιρέτης αυτών, μεγαλύτερος του 100, είναι ο αριθμός 105.
Άρα: β=105 το ποσό της μηνιαίας δόσης.
Εύρεση της κοινής προκαταβολής και το σύνολο των δόσεων έκαστου φίλου.
βκ=3.000-α —> 105κ=3.000-α —-> κ=(3.000-α)/105 (7)
βλ=3.315-α —> 105λ=3.315-α —-> λ=(3.315-α)/105 (8)
βμ=3.840-α —-> 105μ=3.840-α —-> μ=(3.840-α)/105 (9)
Διερεύνηση:
Λύνουμε στις (7), (8), και (9) τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο “α” τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιους αριθμούς «κ», «λ», και «μ» είναι ο αριθμός α=60 (10), ο οποίος αποτελεί και την κοινή προκαταβολή.
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «α» στις (7), (8), και (9) κι’ έχουμε:
κ=(3.000-α)/105 —-> κ=(3.000-60)/105 —-> κ=2.940/105 —> κ=28 (11)
λ=(3.315-α)/105 —-> λ=(3.315-60)/105 —-> λ=3.255/105 —> λ=31 (12)
μ=(3.840-α)/105 —-> μ=(3.840-60)/105 —-> μ=3.780/105 —> μ=36 (13)
Επαλήθευση:
3.000-α=βκ —> 3.000-60=105*28 —-> 2940=105*28
3.315-α=βλ —-> 3.315-60=105*31 —-> 3.255=105*31
3.840-α=βμ —-> 3.840-60=105*36 —-> 3.780=105*36 ο.ε.δ.
προκαταβολή = α , δόσεις της Α΄= κ, δόσεις της Β΄ = λ και δόσεις της Γ΄ = μ.
Περιπτώσεις
1. α = 60 , κ = 28 , λ = 31 , μ = 36
2. α = 165 , κ = 27 , λ = 30 , μ = 35
3. α = 270 , κ = 26 , λ = 29 , μ = 34
4. α = 375 , κ = 25 , λ = 28 , μ = 33
5. α = 480 , κ = 24 , λ = 27 , μ = 32
6. α = 585 , κ = 23 , λ = 26 , μ = 31
7. α = 690 , κ = 22 , λ = 25 , μ = 30
8. α = 795 , κ = 21 , λ = 24 , μ = 29
9. α = 900 , κ = 20 , λ = 23 , μ = 28
10. α = 1005 , κ = 19 , λ = 22 , μ = 27
11. α = 1110 , κ = 18 , λ = 21 , μ = 26
12. α = 1215 , κ = 17 , λ = 20 , μ = 25
13. α = 1320 , κ = 16 , λ = 19 , μ = 24
14. α = 1425 , κ = 15 , λ = 18 , μ = 23
15. α = 1530 , κ = 14 , λ = 17 , μ = 22
16. α = 1635 , κ = 13 , λ = 16 , μ = 21
17. α = 1740 , κ = 12 , λ = 15 , μ = 20
18. α = 1845 , κ = 11 , λ = 14 , μ = 19
19. α = 1950 , κ = 10 , λ = 13 , μ = 18
20. α = 2055 , κ = 9 , λ = 12 , μ = 17
21. α = 2160 , κ = 8 , λ = 11 , μ = 16
22. α = 2265 , κ = 7 , λ = 10 , μ = 15
23. α = 2370 , κ = 6 , λ = 9 , μ = 14
24. α = 2475 , κ = 5 , λ = 8 , μ = 13
25. α = 2580 , κ = 4 , λ = 7 , μ = 12
26. α = 2685 , κ = 3 , λ = 6 , μ = 11
27. α = 2790 , κ = 2 , λ = 5 , μ = 10
28. α = 2895 , κ = 1 , λ = 4 , μ = 9
Μάνο, όπου “ν”, ο αριθμός των δόσεων, όχι μικρότερος του 29, αλλά μεγαλύτερος του 29.