Το γινόμενο των ηλικιών μιας μητέρας και των τριών παιδιών της ισούται με 41.041.
i)Να βρείτε το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών.
ii)Μετά από πόσα χρόνια το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών θα είναι ίσο με την ηλικία που θα έχει τότε η μητέρα τους;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
41.041 = 7*11*13*41
Με προϋπόθεση ότι οι ηλικίες είναι ακέραιοι αριθμοί
η ηλικία της μητέρας είναι 41 και των παιδιών 7, 11 και 13.
α) Άθροισμα ηλικιών των παιδιών = 7 + 11 + 13 = 31
β) Έπειτα από x χρόνια οι ηλικίες τους θα είναι :
μητέρα : 41+x
παιδιά : 7+x , 11+x , 13+x
Πρέπει (7+x) + (11+x) + (13+x) = 41+x
31 + 3x = 41 + x
2x = 10
x = 5
Επομένως σε 5 χρόνια το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών θα ισούται με την ηλικία της μητέρας.
Ερώτηση : Πριν πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών της ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας;
Μάνο συγχαρητήρια! Η λύση σου είναι σωστή. Επίσης ωραίο το ερώτημα περιμένουμε και τη λύση.
Λύση:
Αναλύουμε τον αριθμό 41.041 σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κι’ έχουμε:
41.041=7*11*13*41
Επομένως οι ηλικίες των τριών παιδιών είναι 7, 11, και 13 αντιστοίχως και της μητέρας η ηλικία είναι 41.
Το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών είναι:
7+11+13=31
Παρατηρούμε ότι για κάθε χρόνο που περνάει, η ηλικία της μητέρας αυξάνεται κατά
μια μονάδα, ενώ το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών αυξάνεται κατά 3 μονάδες.
Επομένως η διαφορά είναι:
41-31=10 μονάδες.
Η οποία μειώνεται κατά 2 μονάδες (3-1=2).
10:2=5 χρόνια
Άρα :
Σε 5 χρόνια η ηλικία της μητέρας θα είναι 46 και το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών σε 3*5=15 χρόνια θα είναι το ίσο με την ηλικία της μητέρας.
Αλλιώς, με χρήση μεταβλητών έχουμε:
41+x=31+3x —-> 41-31=3x-x —-> 2x=10 —-> x=10/2 —-> x=5
Επαλήθευση:
41+x=31+3x —-> 41+5=31+3*5 —-> 46=31+15
Απάντηση:
Απλώς αντιστρέφονται οι όροι του προβλήματος.
Παρατηρούμε ότι για κάθε χρόνο που περνάει, η ηλικία της μητέρας μειώνεται κατά τρεις μονάδες, ενώ το άθροισμα των ηλικιών των τριών παιδιών μειώνεται κατά μία μονάδα Επομένως η διαφορά είναι:
41-31=10 μονάδες.
Η οποία μειώνεται κατά 2 μονάδες (3-1=2).
10:2=5 χρόνια
Άρα :
Πριν 5 χρόνια η ηλικία της μητέρας ήταν 26 ετών και το άθροισμα των ηλικιών των παιδιών ήταν 26 ίσο με την ηλικία της μητέρας.
Αλλιώς, με χρήση μεταβλητών έχουμε:
41-3x=31-x —-> 41-31=3x-x —> 2x=10 —> x=10/2 —-> x=5
Επαλήθευση:
41-3x=31-x —> 41-3*5=31-5 —> 41-15=26 ο.ε.δ.
Έστω ότι πριν από y χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.
Πριν y χρόνια ήταν :
Ηλικία μητέρας : 41 – y
Ηλικίες παιδιών : 7 – y, 11 – y, 13 – y
Πρέπει 41 – y = (7 – y)*(11 – y)*(13 – y)
41 – y = -y^3 + 31*y^2 – 311*y + 1001
y^3 – 31*y^2 + 310*y – 960 = 0
(y – 6)*(y^2 – 25*y + 160) = 0
y – 6 = 0 ή y^2 – 25*y + 160 = 0 (αδύνατη διότι έχει Δ = -15 < 0)
y = 6
Επομένως πριν από 6 χρόνια το γινόμενο των ηλικιών των παιδιών ήταν ίσο με την ηλικία της μητέρας.
Επαλήθευση : Πριν 6 χρόνια ήταν :
Ηλικία μητέρας : 41 – 6 = 35
Ηλικίες παιδιών : 7 – 6 = 1 , 11 – 6 = 5 και 13 – 6 = 7
1*5*7 = 35
41, 13,11,7 META 5 XΡΟΝΙΑ