Στο πρωτάθλημα πο
δοσφαίρου μια χώρας, κάθε ομάδα έπαιξε με όλες τις υπόλοιπες ομάδες δύο αγώνες, εντός και εκτός έδρας. Εάν παίχθηκαν συνολικά 240 αγώνες, πόσες ήταν οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Ο γρίφος της ημέρας – «Οι Ομάδες» (για καλούς λύτες)
Έστω ν οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα.
Κάθε ομάδα στο γήπεδό της έδωσε (ν-1) αγώνες.
Συνολικά : (ν ομάδες)x(ν-1 αγώνες)
ν*(ν-1) = 240
ν^2 – ν – 240 = 0
Δ = 961
ν = 16 ή ν = -15(απορρίπτεται)
Επομένως στο πρωτάθλημα συμμετείχαν 16 ομάδες
Έστω ν οι ομάδες.
Παίζει η κάθε ομάδα με όλες τις άλλες, άρα ν-1 αγωνιστικές είναι τα εντός έδρας κι άλλες τόσες τα εκτός.
Σε κάθε αγωνιστική παίζονται ν/2 παιχνίδια. (Ίσως θα έπρεπε να δίνεται ν άρτιος, δεν το έψαξα για περιττό.)
Επομένως, συνολικά έχουμε 240 = ν/2 * (ν-1) * 2
που καταλήγει στο τριώνυμο ν^2 – ν – 240 = 0
Η δεκτή λύση είναι ν = 16 ομάδες
Οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα ήταν 16. Έστω «ν» οι ομάδες και «κ» οι αγώνες. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
ν=2κ (1) άρτιος ο αριθμός των ομάδων.
Κάθε ομάδα παίζει:
2(ν-1)=2(2κ-1) (2) αγώνες, που είναι και ο αριθμός των αγωνιστικών ημερών.
Κάθε αγωνιστική ημέρα διεξάγονται:
κ = ν/2 (3) αγώνες.
Άρα ο αριθμός των αγώνων όλου του πρωταθλήματος είναι:
κ[2(2κ-1)] =240 (4)
Συνεπώς:
κ[2(2κ-1)]=240 —> κ(2κ-1)=240/2 —> κ(2κ-1)=120 —-> 2κ^2-κ=120 —->
2κ^2-κ-120=0 (5)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
κ=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α —> κ=[1±sqrt[(-1)^2-4*2*(-120)]/2*2 —>
κ=[1±sqrt[1-8*(-120)]/4 —> κ=[1±sqrt[1+960]/4 —> κ=[1±sqrt[961]/4 —>
κ=(1±31)/4
με κ1=(1+31)/4 —-> κ1=(32/4 —-> κ1=8
με κ2=(-1-31)/4 —-> κ1=(-32/4 —-> κ1= -8
Δεκτή η ρίζα κ1=8 (6)
Αντικαθιστούμε την τιμή του «κ» στην (1) κι’ έχουμε:
ν=2κ —-> ν=2*8 —-> ν=16 (7)
Άρα ο αριθμός των ομάδων είναι 16.
Επαλήθευση:
ν=2κ —-> ν=2*8 —> ν=16
2(ν-1)=2(2κ-1) —-> 2*(16-1)=2*(2*8-1) —-> 2*15=2*(16-1) —> 2*15=2*15=30
κ = ν/2 —> κ=16/2 —-> κ=8
κ[2(2κ-1)] =240 —-> 8*[2*(2*8-1)]=240 —-> 8*[2*(16-1)]=240 —-> 8*(2*15)=240 —> 8*30=240 ο.ε.δ.
Πηγή: Μαθηματικά Γ΄ Γυμνασίου Κεφ.2, πρβ. 8, σελ.101, εκδ. Ο. Ε. Δ. Β. Α.
16
Παρατήρηση :
Δεν είναι απαραίτητο ο αριθμός των ομάδων να είναι άρτιος
Μπορεί να είναι περιττός και κάθε αγωνιστική να έχει μια ομάδα ρεπό
π.χ. Να λυθεί το ίδιο πρόβλημα με 210 αγώνες συνολικά
Έστω “ν” οι ομάδες που συμμετείχαν στο πρωτάθλημα.
Κάθε ομάδα στο γήπεδό της έδωσε (ν-1) αγώνες.
Συνολικά:
(ν ομάδες)x(ν-1 αγώνες)
ν*(ν-1)=210
ν^2 – ν – 210 = 0
Δ = 841
ν = 15 ή ν = -14(απορρίπτεται)
Επομένως στο πρωτάθλημα συμμετείχαν 15 ομάδες