Ο κυρ-Σπύρος αποφάσισε να ανοίξει μανάβικο, αλλά μετά την αγορά του απαραίτητου εμπορεύματος έχει μείνει σχεδόν ταπί και δεν έχει ζυγαριά .
Ξετρυπώνει λοιπόν από το υπόγειο μία παλιά ζυγαριά που είχε, με τα δύο τάσια, η οποία ζυγίζει μέχρι 40κιλά.
Το μόνο που του μένει να κάνει είναι να αγοράσει τα ζύγια. Βάζει ότι ψιλά του έχουν μείνει στην τσέπη του και μπαίνει στο πρώτο μαγαζί που πουλάει ζύγια.
Ο υπάλληλος τον ενημερώνει ότι για να μπορεί να ζυγίσει οποιοδήποτε ακέραιο βάρος από 1 έως 40κιλά απαιτούνται 7 ζύγια: ένα του 1κιλού , δύο των 2κιλών, ένα των 5κιλών, δύο των 10 κιλών και ένα των 20κιλών.
Ο κυρ-Σπύρος μετράει τα ψιλά του και διαπιστώνει ότι μπορεί να αγοράσει μόνο τα 4 ζύγια από τα 7, δεν απογοητεύεται όμως και αφού σκέπτεται για λίγο ανακαλύπτει ότι μπορεί να κάνει την ίδια δουλειά με 4 μόνο ζύγια.
Ποια είναι αυτά τα ζύγια;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Με το 10 σχηματίζοθυμε ολες της δεκαδες που θελουμε και τις βαζουμε στο ενα ζύγι και με το 5 και το 2, 2 φτιαχνουμε με αθροίσματα ή διαφορες τα μεγέθη που θέλουμε πχ 11κ. ντομάτες φτιάχουμε 2 δεκάδες με το 10(από κάποιο άλλο εμπόρευμα άλλωστε έχει πολλά) και μετά στο άλλο βάζουμε 5+2+2+ ντομάτες, 23κ. ντομάτες φτιάχουμε 2 δεκάδες με το 10+5 και μετά στο άλλο βάζουμε 2+ ντομάτες κοκ
Carlo De Grandi
Λύση:
Θα χρειασθεί τα εξής ζύγια: 1 κιλό, 3 κιλά, 9 κιλά και 27 κιλά. Με αυτά τα τέσσερα ζύγια μπορεί να ζυγίσει οποιοδήποτε ακέραιο βάρος από 1 έως 40κιλά π.χ. : για να ζυγίσει βάρος 20κιλών θα βάλει τα ζύγια των 3 και των 27κιλών στο ένα τάσι και στο άλλο τα ζύγια του 1 και 9κιλών μαζί με το αντικείμενο που πρέπει να ζυγίζει 20κιλά για να ισορροπήσει η ζυγαριά.
Βάσει του τύπου Σο=[α*((ω^n)-1)]/(ω-1), βρίσκουμε τη τιμή του “ω” που είναι ο λόγος
της γεωμετρική προόδου:
Σο = Συνολικό άθροισμα της γεωμετρικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου.
n = Το πλήθος των όρων της γεωμετρικής προόδου.
ω = Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν όρο δια να δώσει
τον επόμενο.
τ = Ο τελευταίος όρος της γεωμετρικής προόδου.
Σο=[α*((ω^n)-1)]/(ω-1) —> 40=[1*((ω^4)-1)]/(ω-1)
Διερεύνηση:
Δίδοντας στο “ω” τις τιμές από το 1 έως το Ν, βρίσκουμε ότι ο μοναδικός αριθμός που
πληρεί τις προϋποθέσεις για τη λύση του προβλήματος είναι ο ω=3.(2)
Αντικαθιστούμε την τιμή του «ω» στην (1) κι΄έχουμε:
40=[1*((ω^4)-1)]/(ω-1) —> 40=[1*((3^4)-1)]/(3-1) —> 40=[1*(81-1)]/2 —> 40=80/2
Αντικαθιστούμε τη τιμή του “ω” στο τύπο τ = α*ω^(n-1) για να βρούμε το τελευταίο όρο της γεωμετρικής προόδου:
τ = α*ω^(n-1) τ = 1*3^(4-1) τ = 1*3^3 τ =1*27 τ =27 (3)
Βάσει του αθροίσματος των όρων της γεωμετρικής προόδου με λόγο το 3 έχουμε:
α+α*ω+α*ω2+α*ω3+…+α*ω^(ν-1) 1+1*3+1*3^2+1*3^3 1+3+9+27=40. ο.ε.δ.
Άρα η ράβδος πρέπει να κοπεί στα εξής μεγέθη βάρους:
1 κιλό, 3 κιλά, 9 κιλά και 27 κιλά.
Για να έχουμε τα επιθυμητά κιλά σε συνδυασμό και των τεσσάρων σταθμών. Βλέπε
πάρα κάτω τον σχετικό αναλυτικό πίνακα:
Πιστεύω ότι οι περισσότεροι από όσους ασχολήθηκαν έψαχναν λύση με 4 από τα 7 ζύγια που αναφέρθηκαν στο πρόβλημα.
Η φράση “Ο κυρ-Σπύρος μετράει τα ψιλά του και διαπιστώνει ότι μπορεί να αγοράσει μόνο τα 4 ζύγια από τα 7, δεν απογοητεύεται όμως και αφού σκέπτεται για λίγο ανακαλύπτει ότι μπορεί να κάνει την ίδια δουλειά με 4 μόνο ζύγια.”, μάλλον μπέρδευε.