Σε μια αθλητική διοργάνωση, 100 μαθητές έλαβαν μέρος σε αγωνίσματα στίβου, 50 συμμετείχαν σε αγώνες κολύμβησης και 48 σε αγώνες σκοποβολής. Το πλήθος των μαθητών που έλαβαν μέρος σε ένα μόνο είδος αγωνισμάτων ήταν διπλάσιο από το πλήθος των μαθητών που έλαβαν μέρος σε δύο είδη αγωνισμάτων και τριπλάσιο από αυτούς που έλαβαν μέρος σε τρία είδη.
Ποιο είναι το πλήθος των μαθητών που συμμετείχαν στη διοργάνωση;
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
121
Έστω 2x το πλήθος αυτών που έκαναν 3 αγωνίσματα
Τότε 6x είναι το πλήθος αυτών που έκαναν 1 μόνο αγώνισμα
και 3x είναι το πλήθος αυτών που έκαναν 2 αγωνίσματα.
2x+3x+6x = 11x το πλήθος όλων
100 + 50 + 48 = 198
Στο 198 όσοι έκαναν 2 αγωνίσματα μετρήθηκαν 2 φορές και όσοι έκαναν 3 αγωνίσματα μετρήθηκαν 3 φορές
Άρα 11x = 198 – 3x – 2*(2x)
11x = 198 – 7x
18x = 198
x = 11
Άρα το ζητούμενο πλήθος είναι 11*11 = 121
Εάν τα πλήθη των μαθητών που έλαβαν μέρος στα αγωνίσματα είναι:
Α μόνο στο στίβο, Β μόνο στην κολύμβηση, Γ μόνο στη σκοποβολή, ΑΒ σε στίβο-κολύμβηση, ΑΓ σε στίβο-σκοποβολή, ΒΓ σε κολύμβηση-σκοποβολή και ΑΒΓ σε στίβο-κολύμβηση-σκοποβολή, τότε από τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε:
Α+ΑΒ+ΑΓ+ΑΒΓ = 100
Β+ΑΒ+ΒΓ+ΑΒΓ = 50
Γ+ΑΓ+ΒΓ+ΑΒΓ = 48
Προσθέτοντας κατά μέλη κι’ έχουμε:
(Α+Β+Γ)+2(ΑΒ+ΑΓ+ΒΓ)+3ΑΒΓ = 198 (1)
Ξέρουμε επίσης ότι Α+Β+Γ = 2(ΑΒ+ΑΓ+ΒΓ) = 3ΑΒΓ, οπότε η (1) γίνεται
3(Α+Β+Γ) = 198 => Α+Β+Γ = 66 και συνεπώς:
ΑΒ+ΑΓ+ΒΓ = 66/2= 33
ΑΒΓ = 66/3 = 22
Επομένως το πλήθος των μαθητών που συμμετείχαν στη διοργάνωση είναι: 66+33+22=121
Πηγή: http://eisatopon.blogspot.gr/2017/06/blog-post_73.html