Ένα παλιό ρώσικο πρόβλημα.
Τρεις αδελφές πήγαν στο παζάρι να πουλήσουν κοτόπουλα. Η πρώτη είχε 10 η δεύτερη 16 και η τρίτη 26. Πούλησαν ένα μέρος του εμπορεύματος με τη ίδια τιμή. Το απόγευμα με το φόβο ότι θα τους έμεναν τα κοτόπουλα έριξαν τη τιμή και πούλησαν όλα τα υπόλοιπα κοτόπουλα με την ίδια τιμή. Στο τέλος της ημέρας είχαν εισπράξει το ίδιο ποσό χρημάτων και οι τρεις αδελφές 35 ρούβλια. Πόσο πουλούσαν τα κοτόπουλα το πρωί και πόσο το απόγευμα.
Ενημερώνουμε τους φίλους αναγνώστες, ότι μπορείτε να μας στέλνετε το δικός σας γρίφο για δημοσίευση.
Το πρωί πουλούσαν τα κοτόπουλα με 3,75 . Η πρώτη πούλησε 9 χ 3,75 = 33,75 . Η δεύτερη πούλησε 6 χ 3,75 = 22,5 και η τρίτη πούλησε 1 χ 3,75 = 3,75 . Το απόγευμα πουλούσαν με 1,25 . Η πρώτη πούλησε το τελευταίο κοτόπουλο με 1,25 + 33,75 = 35 . Η δεύτερη τα 10 χ 1,25 =12,5 + 22,5 = 35 και η τρίτη πούλησε τα 25 χ 1,25 =31,25 + 3,75 = 35
Εστω χ<10,ψ<16,ωβ, τοτε συμφωνα με τα δεδομενα του προβληματος:
χα+(10-χ)β=35 (1)
ψα+(16-ψ)β=35 (2)
ωα+(26-ω)β=35 (3)
Αφαιρουμε ανα δυο κατα μελη τις παραπανω εξισωσεις:
(1)-(2):[χα+(10-χ)β]-[ψα+(16-ψ)β]=0 (χ-ψ)(α-β)=6β>0 (Α) αρα:χ>ψ
(2)-(3):[ψα+(16-ψ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 (ψ-ω)(α-β)=10β>0 (Β) αρα:ψ>ω
(1)-(3):[χα+(10-χ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 (χ-ω)(α-β)=16β (Γ)
Συνεπως: 10>χ>ψ>ω (4)
Διαιρουμε κατα μελη ανα δυο τις παραπανω εξισωσεις:
(Α)/(Β): (χ-ψ)/(ψ-ω)=6/10=3/5
(Α)/(Γ): (χ-ψ)/(χ-ω)=6/16=3/8
(Β)/(Γ): (ψ-ω)/(χ-ω)=10/16=5/8
Οι χ,ψ,ω ειναι ακεραιοι και λογω της (4) θα πρεπει:
χ-ψ=3
ψ-ω=5
χ-ω=8 χ=8+ω<10 ω<10-8=2 αρα: ω=1
Οποτε:
χ=8+ω=8+1=9
ψ-ω=5 ψ=5+ω=5+1=6 [χ-ψ=3=9-6 επαληθευεται]
Αντικαθιστουμε στις (1) και (2) τα χ=9, ψ=6:
9α+(10-9)β=35=6α+(16-6)β 9α+β=6α+10β 3α=9β α=3β
Αντικαθιστωντας στην (3) τα α=3β και ω=1 εχουμε:
α+(26-1)β=35 3β+25β=35 28β=35 β=35/28=5/4=1,25 ρουβλια
αρα: α=3β=3*5/4=15/4=3,75 ρουβλια
http://papaveri48.blogspot.com/2017/03/blog-post_25.html
Εστω χ<10,ψ<16,ω<26 τα κοτοπουλα που πουλησαν το πρωΐ οι τρεις αδελφες αντιστοιχα, οπου χ,ψ,ω ακεραιοι θετικοι. Αν α η πρωινη τιμη πωλησης των κοτοπουλων και β η απογευματινη, οπου α,β ρητοι θετικοι με β<α, τοτε συμφωνα με τα δεδομενα του προβληματος:
χα+(10-χ)β=35 (1)
ψα+(16-ψ)β=35 (2)
ωα+(26-ω)β=35 (3)
Αφαιρουμε ανα δυο κατα μελη τις παραπανω εξισωσεις:
(1)-(2):[χα+(10-χ)β]-[ψα+(16-ψ)β]=0 (χ-ψ)(α-β)=6β>0 (Α) αρα:χ>ψ
(2)-(3):[ψα+(16-ψ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 (ψ-ω)(α-β)=10β>0 (Β) αρα:ψ>ω
(1)-(3):[χα+(10-χ)β]-[ωα+(26-ω)β]=0 (χ-ω)(α-β)=16β (Γ)
Συνεπως: 10>χ>ψ>ω (4)
Διαιρουμε κατα μελη ανα δυο τις παραπανω εξισωσεις:
(Α)/(Β): (χ-ψ)/(ψ-ω)=6/10=3/5
(Α)/(Γ): (χ-ψ)/(χ-ω)=6/16=3/8
(Β)/(Γ): (ψ-ω)/(χ-ω)=10/16=5/8
Οι χ,ψ,ω ειναι ακεραιοι και λογω της (4) θα πρεπει:
χ-ψ=3
ψ-ω=5
χ-ω=8 χ=8+ω<10 ω<10-8=2 αρα: ω=1
Οποτε:
χ=8+ω=8+1=9
ψ-ω=5 ψ=5+ω=5+1=6 [χ-ψ=3=9-6 επαληθευεται]
Αντικαθιστουμε στις (1) και (2) τα χ=9, ψ=6:
9α+(10-9)β=35=6α+(16-6)β 9α+β=6α+10β 3α=9β α=3β
Αντικαθιστωντας στην (3) τα α=3β και ω=1 εχουμε:
α+(26-1)β=35 3β+25β=35 28β=35 β=35/28=5/4=1,25 ρουβλια
αρα: α=3β=3*5/4=15/4=3,75 ρουβλια