Ποιος είναι ο μικρότερος αριθμός σταθμών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ζυγίσουν ένα ακέραιο αριθμό κιλών από το 1κιλό έως 40κιλά, εάν τα σταθμά μπορούν να τοποθετηθούν σε οποιαδήποτε πλευρά του ζυγού;
Διευκρίνιση:
Από το βιβλίο του Claude -Gaspard Bachet (1581-1638) με τίτλο «Problemes plaisans et delectables qui se font par les nombres», 1612. Πρόκειται για την πρώτη συλλογή διασκεδαστικών μαθηματικών που τυπώθηκε. Τα αριθμητικά προβλήματα που περιλαμβάνει δεν είναι όλα πρωτότυπα, κάποια είναι παρμένα από προγενέστερες συλλογές όπως η Παλατινή Ανθολογία και οι συλλογές του Abba Flaccus Albinus Alcuinus της Υόρκης, του Μανουήλ Μοσχόπουλου, και του Niccolò Fontana Tartaglia.
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Μόνο με 4 σταθμά : 1 , 3 , 9 , 27
Πρέπει κάθε αριθμός από το 1 ως το 40 (εκτός των 1,3,9,27) να εκφραστεί με πρόσθεση ή αφαίρεση ή πρόσθεση και αφαίρεση των σταθμών 1,3,9,27.
2=3-1
4=3+1
5=9-(1+3)
6=9-3
7=(9+1)-3
8=9-1
10=9+1
11=(9+3)-1
12=9+3
13=9+3+1
14=27-(9+3+1)
15=27-(9+3)
16=(27+1)-(9+3)
17=27-(9+1)
18=27-9
19=(27+1)-9
20=(27+3)-(9+1)
21=(27+3)-9
22=(27+3+1)-9
23=27-(3+1)
24=27-3
25=(27+1)-3
26=27-1
28=27+1
29=(27+3)-1
30=27+3
31=27+3+1
32=(27+9)-(3+1)
33=(27+9)-3
34=(27+9+1)-3
35=(27+9)-1
36=27+9
37=27+9+1
38=(27+9+3)-1
39=27+9+3
40=27+9+3+1
Ο Bachet απαντά ότι χρειάζονται τα εξής 4 σταθμά: 1 κιλό, 3 κιλά, 9 κιλά και 27 κιλά αντίστοιχα. Με αυτά τα τέσσερα ζύγια μπορεί να ζυγίσει οποιοδήποτε ακέραιο βάρος από 1 έως 40κιλά, π.χ.: για να ζυγίσει βάρος 20κιλών θα βάλει τα ζύγια των 3 και των 27κιλών στο ένα τάσι και στο άλλο τα ζύγια του 1 και 9κιλών μαζί με το αντικείμενο που πρέπει να ζυγίζει 20κιλά για να ισορροπήσει η ζυγαριά.
Βάσει του τύπου Σο=[α*((ω^n)-1)]/(ω-1), βρίσκουμε τη τιμή του “ω” που είναι ο λόγος της γεωμετρική προόδου:
Σο = Συνολικό άθροισμα της γεωμετρικής προόδου.
α = Ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου.
n = Το πλήθος των όρων της γεωμετρικής προόδου.
ω = Ο λόγος. Ο σταθερός αριθμός, ο οποίος προστίθεται εις έναν όρο δια να δώσει
τον επόμενο.
τ = Ο τελευταίος όρος της γεωμετρικής προόδου.
Σο=[α*((ω^n)-1)]/(ω-1) —> 40=[1*((ω^4)-1)]/(ω-1) (1)
Διερεύνηση:
Δίδοντας στο “ω” τις τιμές από το 1 έως το Ν, βρίσκουμε ότι ο μοναδικός αριθμός που πληρεί τις προϋποθέσεις για τη λύση του προβλήματος είναι ο ω=3.(2)
Αντικαθιστούμε την τιμή του «ω» στην (1) κι΄ έχουμε:
40=[1*((ω^4)-1)]/(ω-1) —> 40=[1*((3^4)-1)]/(3-1) —> 40=[1*(81-1)]/2 —> 40=80/2
Αντικαθιστούμε τη τιμή του “ω” στο τύπο τ = α*ω^(n-1) για να βρούμε το τελευταίο όρο της γεωμετρικής προόδου:
τ = α*ω^(n-1) —> τ = 1*3^(4-1) —> τ = 1*3^3 —> τ =1*27 —> τ =27 (3)
Βάσει του αθροίσματος των όρων της γεωμετρικής προόδου με λόγο το 3 έχουμε:
α+α*ω+α*ω2+α*ω3+…+α*ω^(ν-1) —> 1+1*3+1*3^2+1*3^3 —> 1+3+9+27=40. ο.ε.δ.
Για να έχουμε τα επιθυμητά κιλά σε συνδυασμό και των τεσσάρων σταθμών. Βλέπε
κατωτέρω τον σχετικό αναλυτικό πίνακα:
Π Ι Ν Α Κ Α Σ
Το ίδιο πρόβλημα λύνει και ο Niccolò Fontana Tartaglia με τον περιορισμό τα σταθμά να μπορούν να μπουν μόνο στη μία μεριά του ζυγού. ∆ίνει την απάντηση ότι χρειάζονται 6 σταθμά: 1, 2, 4, 8, 16, και 32κιλά αντίστοιχα.