Κτηματίας ἐρωτηθεὶς περὶ τῶν ὑπαρχόντων του, ἀπεκρίθη, ὡς ἔπεται:
-«‘Η χρηματική μου κατάστασις εἶναι τόσον μεγάλη, ὥστε ἄν τὴν αὐξήσω κατὰ
1.578 τάλαντα. ἤ ἄν τὴν σμικρύνω κατὰ 142 τάλαντα καὶ ἐξάξω τὴν κυβικὴν ῥιζαν τῶν παραγομένων ἀριθμῶν, θέλουν διαφέρει αὐταὶ αἱ ῥιζαι κατὰ 10.»
Διερεύνηση:
Σ. Σούτσου και Α. Ρίζου Ραγκαβή, Συλλογή προβλημάτων, τόμος Ι, Βασιλική τυπογραφία, Αθήνα, 1836, Πρόβλημα 68, σελίς 253.
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Η χρηματική του κατάσταση είναι 150 τάλαντα.
Έστω x η μικρότερη κυβική ρίζα και x+10 η μεγαλύτερη κυβική ρίζα.
Η χρηματική του κατάσταση είναι Π = x^3 + 142 ή Π = (x+10)^3 – 1578
(x+10)^3 – 1578 = x^3 + 142
x^3 + 30x^2 + 300x + 1000 – 1578 = x^3 + 142
30x^2 + 300x – 720 = 0
x^2 + 10x – 24 = 0
Δ = 196
x = 2 ή x = -12(απορρίπτεται)
Επομένως x = 2
και
η χρηματική του κατάσταση είναι Π = 2^3 + 142 = 8 + 142 = 150 τάλαντα.
Διευκρίνιση:
Για συντόμευση, όπου cr = cubic root
Η περιουσία του κτηματία ανερχόταν σε 150 τάλαντα. Έστω ότι η περιουσία του αποτελείται από «x» τάλαντα. Βάσει των δεδομένων της εκφώνηση του προβλήματος έχουμε:
cr(x+1.578)-cr(x-142)=10 —> cr(x+1.578)- 10 =cr(x-142) —>
[cr(x+1.578)]^3-3*[cr(x+1.578)^2]*10+3*[cr(x+1.578)*10^2-10^3=[cr(x-142)]^3 —>
(x+1.578)-3*10*[cr(x+1.578)]^2+3*100*[cr(x+1.578)]-1.000=x-142 —>
-30*[cr(x+1.578)]^2+300*[cr(x+1.578)]=x-x-1.578+1.000-142 —>
-30*[cr(x+1.578)]^2+300*[cr(x+1.578)]= -720
Απλοποιούμε την εξίσωση διαιρώντας και τα δύο μέλη με το 30. κι’ έχουμε:
-30*[cr(x+1.578)]^2+300*[cr(x+1.578)]= -720 —>
-[cr(x+1.578)]^2+10*[cr(x+1.578)]= -24 —> – [cr(x+1.578)]^2+10*[cr(x+1.578)]+24=0 —>
Θέτουμε «ω», όπου [cubic root(x+1.578)] (1) κι’ έχουμε:
-[cr(x+1.578)]^2+10*[cr(x+1.578)]+24=0 —> -ω^2+10ω+24=0 (2)
Βάσει του τύπου της δευτεροβάθμιας εξίσωσης x=[-β±sqrt[(β)^2-4αγ]/2α έχουμε:
ω=[-β±sqrt[(β)^2-4*αγ]/2α —> ω=[-10±sqrt[(10)^2-4*(-1*24)]/2*(-1) —>
ω=[-10±(100+96)]/-2 —> ω=(-10±14)/-2
ω1=(-10+14)/-2 —> ω1=4/-2 —> ω1= -2, απορρίπτεται
ω2=(-10-14)/-2 —> ω2=(-24)/-2 —> ω2=12, αποδεκτή
Αντικαθιστούμε τη τιμή ω2 στην (1) κι’ έχουμε:
(1)ω = [cubic root(x+1.578)] —> 12 = [cubic root(x+1.578)]
Υψώνουμε και τα δύο μέλη στο τετράγωνο κι’ έχουμε:
[cubic root(x+1.578)] = 12 —> [cubic root(x+1.578)]^2 = 12^2 —>
x+1.578=1.728 —> x=1.728-1.578 —-> x=150
η οποία επαληθεύει την αρχική.
Επαλήθευση:
cubic root(x+1.578)-cubic root(x-142)=10 —>
cubic root(150+1.578)- cubic root(150-142)=10 —>
cubic root(1.728)- cubic root(8)=10 —-> 12-2= 10 ο.ε.δ.
Έχουμε δύο τέλειους κύβους που διαφέρουν κατά 1578+142=1720. Όποιος ξέρει τους κύβους των μικρών ακέραιων θα αναγνωρίσει αμέσως τη διαφορά 1728-8, δηλ. 12³-2³. Και πράγματι 12-2=10. Άρα η απάντηση είναι 8+142 = 1728-1578 = 150.