Ένα ρολόι δείχνει ότι η ώρα είναι 20 λεπτά μετά τις 8, όπως φαίνεται και στην εικόνα. Θεωρώντας ότι και οι δύο δείκτες έχουν την ίδια απόσταση από το 6, τι ώρα είναι ακριβώς;
Διευκρίνιση:
More Mathematical Puzzles of Sam Loyd, Dover Publications, Inc., New York,1959, πρόβλημα Νο.21, σελίδα 16.
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
8 και 18′ και 27″ και 69/100 του δευτερολέπτου.
8Η 18′ 22”
Ο δείκτης των λεπτών κάνει 360 μοίρες για να φτάσει στο ίδιο σημείο, άρα κάνει
360/60=6μοίρες το λεπτό. Οπότε σε 20-x λεπτά θα έχει κάνει 6*(20−x) = 120−6x
μοίρες. Ο δείκτης των ωρών από την άλλη κάνει 360/12=30μοίρες την ώρα και 30/60= 1/2μοίρες το λεπτό. Οπότε σε x λεπτά ο δείκτης της ώρας θα έχει μετακινηθεί x/2 μοίρες από τις 8, οπότε έχουμε την εξίσωση:
x/2=120-6x —> x=2*(120-6x) —> x=240-12x —> 12x+x=240 —> 13x=240 —>
x=240/13 —> x=18,461538461538461538461538461538
Μετατρέπουμε τα 0,461538461538461538461538461538 λεπτά σε δευτερόλεπτα:
0,461538461538461538461538461538*60=27,69230769230769230769230769228
Το ρολόι επομένως δείχνει 8ωρ. 18 λεπτά 27 δευτερόλεπτα και 69/100 του δευτερολέπτου.
Ή
Έστω x η απόσταση του ωροδείκτη που μετακινήθηκε από την ένδειξη 8:00, τότε (20–x)θα είναι η απόσταση του λεπτοδείκτη που μετακινήθηκε από τις 8:00. Σύμφωνα με την πρόταση, η γωνία που σχηματίζει ο λεπτοδείκτης, που βρίσκεται στη ένδειξη «4», με την ένδειξη «6» είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζει ο ωροδείκτης, που βρίσκεται στη ένδειξη «8», με την ένδειξη «6» του ρολογιού. Ξέρουμ ε ότι σε 60 λεπτά ο λεπτοδείκτης διατρέχει 360 μοίρες (360/60 = 6 βαθμούς ανά λεπτό) και ο ωροδείκτης διατρέχει 360/12 = 30 μοίρες (30/60 = 1/2 βαθμούς ανά λεπτό). Όταν ο ωροδείκτης μετακινείτε κατά 5 λεπτά ο λεπτοδείκτης μετακινείτε κατά 5*12 = 60 λεπτά. Εφόσον οι χρόνοι είναι ίσοι και τα κλάσματα θα είναι ίσα.
x/5 = (20 – x)/60 —> 60x = 5*(20-x) —> 60x = 100 – 5x —>
60x+5x = 100 —> 65x = 100 —> x = 100/65
Απλοποιούμε τους όρους του κλάσματος με το 5 κι’ έχουμε:
x = 100/65 —> x = 20/13 —> x = 1 και 7/13 λεπτά μετακινήθηκε ο ωροδείκτης.
Ως εκ τούτου, ο λεπτοδείκτης έχει μετακινηθεί κατά:
(20–x) —> 20-20/13 —> [(20*13)-20]/13 —> (260-20)/13 —> 240/13 —>
18 και 6/13 λεπτά μετακινήθηκε ο λεπτοδείκτης από τις 8 η ώρα. ή 18 λεπτά και 6/13 του λεπτού.
Μετατρέπουμε τα 6/13 λεπτά σε δευτερόλεπτα:
Το 1 λεπτό έχει 60 δευτερόλεπτα και τα 6/13 λεπτά έχουν:
(6/13)*60=360/13=27 και 9/13 δευτερόλεπτα.
Άρα ο λεπτοδείκτης μετακινήθηκε από τις 8:00 κατά 18΄ 27΄΄και 9/13 του δευτερολέπτου.
https://app.box.com/s/kjm2j69irio6495dr91h6yivc151708x
Ο δείκτης των λεπτών κάνει 360 μοίρες για να φτάσει στο ίδιο σημείο, άρα κάνει
360/60=6μοίρες το λεπτό. Οπότε σε 20-x λεπτά θα έχει κάνει 6*(20−x) = 120−6x
μοίρες. Ο δείκτης των ωρών από την άλλη κάνει 360/12=30μοίρες την ώρα και 30/60= 1/2μοίρες το λεπτό. Οπότε σε x λεπτά ο δείκτης της ώρας θα έχει μετακινηθεί x/2 μοίρες από τις 8, οπότε έχουμε την εξίσωση:
x/2=120-6x —> x=2*(120-6x) —> x=240-12x —> 12x+x=240 —> 13x=240 —>
x=240/13 —> x=18,461538461538461538461538461538
Μετατρέπουμε τα 0,461538461538461538461538461538 λεπτά σε δευτερόλεπτα:
0,461538461538461538461538461538*60=27,69230769230769230769230769228
Το ρολόι επομένως δείχνει 8ωρ. 18 λεπτά 27 δευτερόλεπτα και 69/100 του δευτερολέπτου.
Ή
Έστω x η απόσταση του ωροδείκτη που μετακινήθηκε από την ένδειξη 8:00, τότε (20–x) θα είναι η απόσταση του λεπτοδείκτη που μετακινήθηκε από τις 8:00. Σύμφωνα με την πρόταση, η γωνία που σχηματίζει ο λεπτοδείκτης, που βρίσκεται στη ένδειξη «4», με την ένδειξη «6» είναι ίση με τη γωνία που σχηματίζει ο ωροδείκτης, που βρίσκεται στη ένδειξη «8», με την ένδειξη «6» του ρολογιού.Ξέρουμ ε ότι σε 60 λεπτά ο λεπτοδείκτης διατρέχει 360 μοίρες:
(360/60 = 6 βαθμούς ανά λεπτό)
και ο ωροδείκτης διατρέχει:
360/12 = 30 μοίρες (30/60 = 1/2 βαθμούς ανά λεπτό).
Όταν ο ωροδείκτης μετακινείτε κατά 5 λεπτά ο λεπτοδείκτης μετακινείτε κατά 5*12=60 λεπτά. Εφόσον οι χρόνοι είναι ίσοι και τα κλάσματα θα είναι ίσα.
x/5=(20 – x)/60 —> 60x = 5*(20-x) —> 60x = 100 – 5x —> 60x+5x= 100 —>
65x = 100 —> x = 100/65
Απλοποιούμε τους όρους του κλάσματος με το 5 κι’ έχουμε:
x = 100/65 —> x = 20/13 —> x = 1και 7/13 λεπτά μετακινήθηκε ο ωροδείκτης.
Ως εκ τούτου, ο λεπτοδείκτης έχει μετακινηθεί κατά:
(20–x) —> 20-20/13 —> [(20*13)-20]/13 —> (260-20)/13 —> 240/13 —> 18 και 6/13 λεπτά μετακινήθηκε ο λεπτοδείκτης από τις 8 η ώρα. ή 18 λεπτά και 6/13 του λεπτού.
Μετατρέπουμε τα 6/13 λεπτά σε δευτερόλεπτα:
Το 1 λεπτό έχει 60 δευτερόλεπτα και τα 6/13 λεπτά έχουν:
(6/13)*60=360/13=27 και 9/13 δευτερόλεπτα.
Άρα ο λεπτοδείκτης μετακινήθηκε από τις 8:00 κατά 18΄:27΄΄και 9/13 του δευτερολέπτου.