Ένας αφηρημένος υπάλληλος τράπεζας έκανε λάθος στην εξαργύρωση μιας επιταγής και έδωσε στον πελάτη δολάρια αντί για τα σεντς και σεντς αντί για τα δολάρια.
Με αποτέλεσμα ο πελάτης μετά που αγόρασε μία εφημερίδα των 5 σεντς, να διαπιστώσει ότι έχει ακριβώς το διπλάσιο ποσό από αυτό που έγραφε η επιταγή.
Πόσα ήταν τα χρήματα της επιταγής;
Διευκρίνιση:
More Mathematical Puzzles and Diversions, Martin Gardner, Penguin Books,1961,
Πρόβλημα 8, σελίδα 123.
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
Το ποσό της επιταγής είναι 31 δολάρια και 63 σεντς.
Έστω x δολάρια και y σεντς το ποσό της επιταγής, δηλαδή (100x+y) σεντς, με x, y φυσικούς αριθμούς μικρότερους του 100.
Ο υπάλληλος έδωσε στον πελάτη y δολάρια και x σεντς, δηλαδή (100y+x) σεντς.
Είναι 100y + x = 2(100x + y) + 5 ή
100y + x = 200x + 2y + 5 ή
98y – 199x = 5 ή
98y – 196x = 3x + 5 ή
98(y – 2x) = 3x + 5
δηλαδή το 3x+5 είναι πολλαπλάσιο του 98.
Είναι 0 < x < 100, άρα 5 < 3x+5 < 305.
Τα πολλαπλάσια του 98 στο διάστημα (5 , 305) είναι τα 98, 196 και 294.
Αν 3x + 5 = 98, τότε x = 31.
Αν 3x + 5 = 196, τότε x = 191/3 που δεν είναι ακέραιος.
Αν 3x + 5 = 294, τότε x = 289/3 που δεν είναι ακέραιος.
Άρα x = 31 και αν αντικαταστήσουμε στη σχέση 98y – 199x = 5, έχουμε y = 63.
Επομένως το ποσό της επιταγής είναι 31 δολάρια και 63 σεντς.
Το ποσό της επιταγής ήταν 31,63$. Έστω «y» δολάρια και «x» σεντς. Βάσει των δεδομένων της εκφώνησης του προβλήματος έχουμε:
Ο συνταξιούχος έπρεπε να πάρει 100x+y δολάρια ενώ ο ταμίας του έδωσε κατά
λάθος 100y+x δολάρια. Σύμφωνα με τα δεδομένα της εκφώνησης έχουμε:
5+2*(100x+y)=100y+x (1)
Από την (1) συνάγουμε ότι:
5+2*(100x+y)=100y+x —> 5+200x+2y=100y+x —> 200x-x=100y-2y-5 —>
199x=98y-5 —> x=(98y-5)/199 (2)
Διερεύνηση:
Λύνουμε τον ένα άγνωστο συναρτήσει του άλλου και κάνουμε την διερεύνηση
των ακέραιων ριζών. Δίνοντας στο “y” τις τιμές από το 1 έως το Ν, βλέπουμε
ότι η μοναδική τιμή που ικανοποιεί τη συνθήκη και δίνει ακέραιο αριθμό “x”
είναι ο αριθμός y=63 (3)
Αντικαθιστούμε τη τιμή του «y» στη (2) κι’ έχουμε:
x=(98y-5)/199 —> x=[(98*63)-5]/199 —> x= 6.174-5/199 —> x= 6.169/199 —>
x=31 (3)
Επαλήθευση:
Λανθασμένη εξαργύρωση της επιταγής από το ταμία: 63,31€
Πραγματική αξία της επιταγής: 31,63€
Διαφορά:
63,31-31,63= 31,68 (31,63+5)
Ξόδεψε 5 σέντς για την αγορά μιας εφημερίδας, οπότε του έμειναν:
63,31-5=63,26€
που αντιστοιχούν στο διπλάσιο ποσό από αυτό που έπρεπε να πάρει. (31,63€*2)