Στην Λοξολάνδη κάθε χρόνο διοργανώνεται το ετήσιο τουρνουά Μπιζελιών.Ένα τουρνουά στο οποίο συμμετέχουν παίκτες από όλη την επικράτεια,με έπαθλο το κολοσσιαίο ποσό των 1000 λιρών Λοξολάνδης που το προσφέρει ο επιχειρηματίας Μήτσος,τσιφούτης επίσης κολοσσιαίων διαστάσεων.Το παιχνίδι έχει πολύ απλούς κανόνες.
Παίζεται από δυο αντίπαλους παίκτες.Αρχικά, κάθονται ενώπιος ενωπίω σε ένα τραπέζι με μια στοίβα 39 μπιζελιών,ο πρώτος παίκτης χωρίζει όπως θέλει την αρχική στοίβα σε δυο νέες στοίβες με πλήθη μπιζελιών α,β. Ο κριτής τότε καταγράφει το γινόμενο α*β. Έρχεται η σειρά του άλλου παίκτη επιλέγει όποια στοίβα θέλει και την χωρίζει επίσης όπως θέλει-όσο αφορά το πλήθος μπιζελιών-σε δυο νέες στοίβες με πλήθη α΄,β΄.Ο κριτής τότε καταγράφει το γινόμενο α΄*β΄.
Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να προκύψουν 39 στοίβες του ενός μπιζελιού.Ο κριτής που έχει καταγράψει τα γινόμενα,τα αθροίζει,αν το αποτέλεσμα είναι περιττός κερδίζει ο πρώτος παίκτης αν το αποτέλεσμα είναι άρτιος κερδίζει ο δεύτερος παίκτης.Κάθε χρόνο το χρηματικό έπαθλο κερδίζει ο Μήτσος τζούνιορ,ο όποιος μεταξύ μας δεν μπορεί να μοιράσει δυο γαϊδουριών άχυρα αλλά επειδή είναι ο γιος του διοργανωτή παίζει πάντα πρώτος.
Εξηγήστε γιατί ο Μήτσος τζούνιορ κερδίζει πάντα;
Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα
Γίνονται 38 χωρισμοί
Από αυτούς
19 είναι χωρισμοί σε δύο ομάδες με περιττό αριθμό μπιζελιών, με γινόμενο α*β=περιττός
19 είναι χωρισμοί σε δύο ομάδες που η μια τουλάχιστον έχει άρτιο αριθμό μπιζελιών, με γινόμενο α*β=άρτιος
Ο κριτής πάντα προσθέτει 19 άρτιους και 19 περιττούς και το αποτέλεσμα είναι πάντα περιττός, δηλαδή κερδίζει πάντα ο 1ος παίκτης (ο Μήτσος τζούνιορ)
Το άθροισμα των γινομένων, για αρχικό σωρό μεγέθους 39, είναι πάντα 39*38/2=741.
Γενικότερα, αποδεικνύεται ότι για αρχικό σωρό μεγέθους ν, το άθροισμα των γινομένων είναι Σ(ν)=ν(ν-1)/2.
Απόδειξη:
Για ν=1,2,3 ο ισχυρισμός ισχύει, αφού τα αντίστοιχα αθροίσματα γινομένων υπολογίζονται εύκολα και είναι Σ(1)=0=1*0/2, Σ(2)=1=2*1/2, Σ(3)=3=3*2/2.
Υποθέτοντας ότι ισχύει για κάθε ακέραιο από 1 έως ν-1, θα δείξουμε ότι ισχύει και για τον ν.
Διαμερίζουμε τον ν σε δύο θετικούς ακέραιους μ και ν-μ. Σε κάθε περίπτωση, αυτοί είναι μικρότεροι του ν και δίνουν γινόμενο μ(ν-μ). Επομένως:
Σ(ν) = μ(μ-1)/2 + (ν-μ)(ν-μ-1)/2 +μ(ν-μ).
Κάνοντας τις πράξεις, ο μ απαλείφεται και καταλήγουμε σε:
Σ(ν) = ν(ν-1)/2, γεγονός που ολοκληρώνει την επαγωγική απόδειξη.
Έχετε δίκιο,το άθροισμα ανεξάρτητα από τις επιμερίσεις είναι πάντα περιττός( 741) για αυτό κερδίζει πάντα ο Μήτσος Τζούνιορ! Μια τρίτη προσέγγιση, αυτή που έστειλα μαζί με τον γρίφο πριν ανεβεί.
Θα κερδίζει πάντα ο πρώτος παίκτης ανεξάρτητα από τον χωρισμό των στοιβών κατά την διάρκεια του παιχνιδιού. Αρχικά ονομάσουμε Τκ το άθροισμα των τετραγώνων των αριθμών των μπιζελιών σε κάθε στοίβα όταν οι στοίβες είναι κ το πλήθος. Για παράδειγμα, αρχικά έχουμε μια στοίβα με 39 μπιζέλια θα ισχύει Τ1=392=1521,αν ο πρώτος παίκτης χωρίσει την μια στοίβα σε δυο στοίβες των 30 και 9 μπιζελιών, τότε , θα ισχύει Τ2=302+92 =981 κ.ο.κ μέχρι να καταλήξουν οι δυο παίκτες σε 39 στοίβες όπου και θα ισχύει Τ39=12+12+12+..+12=39.
Σε κάθε γύρο του παιχνιδιού που πηγαίνουμε από κ στοίβες σε κ+1 στοίβες αυτό που κάνουμε είναι να αντικαταστήσουμε μια στοίβα με χ+y μπιζέλια με δυο που έχουν χ μπιζέλια και y μπιζέλια, αντίστοιχα. Η αλλαγή στο άθροισμα των τετραγώνων των αριθμών είναι (χ+y)2=x2+y2+2xy δηλαδή 2xy=Τκ-Τκ+1 .Στο ίδιο αυτό βήμα, το γινόμενο που καταγράφουμε είναι το xy.Με άλλα λόγια το γινόμενο που καταγράφουμε ικανοποιεί xy =(1/2)( Τκ-Τκ+1).Οποτε το άθροισμα όλων των xy που καταγράψαμε,το ονομάζουμε Σ,είναι :
Σ=(1/2)( Τ1-Τ2)+ (1/2)( Τ2-Τ3)+ (1/2)( Τ3-Τ4)+…..+ …..+ (1/2)( Τ38-Τ39)= (1/2)( Τ1-Τ2+Τ2-Τ3+ Τ3-Τ4…+Τ38-Τ39)=
(1/2)( Τ1-Τ39)= (1/2)( 392-39)=741
Το Σ ανεξάρτητα από τις επιμερίσεις είναι πάντα 741 για αυτό κερδίζει πάντα ο Μήτσος Τζούνιορ!