Ο γρίφος της ημέρας – ” Οι Αριθμοί” (για δυνατούς λύτες)

...2

Να βρεθούν δύο μη μηδενικοί αριθμοί «α» και «β» τέτοιοι, ώστε τοα άθροισμά τους «α+β» να ισούται με το γινόμενό τους «αβ» και ίσο με το πηλίκο τους «α:β».

Προτάθηκε από Carlo de Grandi

2 σχόλια

  1. Μάνος Κοθρής

    α = 1/2 και β = -1

  2. Carlo de Grandi

    Ας δώσω πλήρη τη λύση για να υπάρχει. 🙂 🙂
    (Α)Γνωρίζουμε ότι:
    α*β=α/β
    Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με το «β» και έχουμε:
    α*β=α/β —-> α*β*β=(α/β)*β —-> α*β^2 = α
    Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το «α», αφού ξέρουμε ότι το «α» είναι διάφορο του μηδενός, κι’ έχουμε:
    α*β^2 = α —-> (α*β^2)/α = α/α —-> β^2=1
    Υψώνουμε και τα δύο μέλη στη τετραγωνική ρίζα κι’ έχουμε:
    β^2 = 1 —-> sqrt(β^2)=sqrt(1) —-> β=1 η β= -1 (1)
    (Β)Επίσης, γνωρίζουμε ότι:
    α+β = α*β
    Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το «β», αφού ξέρουμε ότι το «β» είναι διάφορο του μηδενός, και έχουμε:
    (α+β)/β = (α*β)/β —-> (α+β)/β = α
    Αντικαθιστούμε τις τιμές του «β» κι’ έχουμε:
    α)Για β=1: (α+β)/β = α —-> (α+1)/1 = α —-> α+1 = α *1 —-> α+1 = α
    Αφαιρούμε κατά μέλη το «α» έχουμε:
    α+1 = α —-> α+1-α = α-α —-> 1=0, που προφανώς δεν ισχύει, άτοπο.
    β)Για β= -1: (α+β)/β = α —-> [(α+(-1)]/-1 = α —-> (α-1)/-1= α —->
    (α-1)= -1*α —-> -(α-1) = α —-> -α +1 = α
    Προσθέτουμε και στα δύο μέλη το «α» κι’ έχουμε:
    -α +1 = α —> -α +α+1 = α+α —-> 1=2α —-> α=1/2 (2)

Απάντηση