Ο Κάρλος το τσακάλι είναι ένας διαβόητος τρομοκράτης που κυκλοφορεί με πλαστές ταυτότητες.
Όλες οι ταυτότητές του έχουν έξι ψηφία, κανένα από τα οποία δεν είναι 0, και έχουν επιπλέον την εξής ιδιότητα: ο αριθμός που σχηματίζουν τα ν πρώτα ψηφία καθεμιάς, για κάθε ν από 1 έως 6, διαιρείται με το ν.
Πόσες το πολύ πλαστές ταυτότητες έχει ο Κάρλος;
Προτάθηκε από τον Θανάση Παπαδημητρίου
Ο Κάρλος έχει το πολύ 324 πλαστές ταυτότητες.
Έστω (αβγδεζ) ο ζητούμενος αριθμός της ταυτότητας του Κάρλο, με α, β, γ, δ, ε, ζ φυσικούς αριθμούς διάφορους του μηδενός.
Πρέπει το 1 να διαιρεί το α, άρα α = 1 ή 2 ή 3 ή 4 ή 5 ή 6 ή 7 ή 8 ή 9 –>
(9 επιλογές για το α)
Πρέπει το 2 να διαιρεί το (αβ), άρα α = 2 ή 4 ή 6 ή 8 (4 επιλογές για το β)
Πρέπει το 3 να διαιρεί το (αβγ), άρα α + β + γ = πολ3 (σχέση 1)
Πρέπει το 4 να διαιρεί το (αβγδ), άρα (γδ) = πολ4 (σχέση 2)
Πρέπει το 5 να διαιρεί το (αβγδε), άρα ε = 5 (1 επιλογή για το ε)
Τέλος πρέπει το 6 να διαιρεί το (αβγδεζ), άρα ζ = άρτιος και δ + 5 + ζ = πολ3 (σχέση 3)
Αν β = 2 ή 8, τότε γ = 3 ή 6 ή 9 (από σχέση 1)
Αν β = 4, τότε γ = 1 ή 4 ή 7 (από σχέση 1)
Αν β = 6, τότε γ = 2 ή 5 ή 8 (από σχέση 1)
Για κάθε β έχουμε 3 επιλογές για το γ.
Αν γ = 1 ή 3 ή 5 ή 7, τότε (δ , ζ) = (2 , 2) ή (2 , 8) ή (6 , 4) (από σχέσεις 2 και 3)
Αν γ = 2 ή 4 ή 6 ή 8, τότε (δ , ζ) = (4 , 6) ή (8 , 2) ή (8 , 8) (από σχέσεις 2 και 3)
Για κάθε γ έχουμε 3 επιλογές για το ζευγάρι (δ , ζ).
Τελικά έχουμε 9*4*3*3*1 = 324 επιλογές (το πολύ 324 πλαστές ταυτότητες)
123252
123258
123654
126456
126852
126858
129252
129258
129654
141252
141258
141654
144456
144852
144858
147252
147258
147654
162456
162852
162858
165252
165258
165654
168456
168852
168858
183252
183258
183654
186456
186852
186858
189252
189258
189654
222456
222852
222856
225252
225258
225654
228456
228852
228858
243252
243258
243654
246456
246852
246858
249252
249258
249654
261252
261258
261654
264456
264852
264858
267252
267258
267654
282456
282852
282858
285252
285258
285654
288456
288852
288858
321252
321258
321654
324456
324852
324858
327252
327258
327654
342456
342852
342858
345252
345258
345654
348456
348852
348858
363252
363258
363654
366456
366852
366858
369252
369258
369654
381252
381258
381654
384456
384852
384858
387252
387258
387654
423252
423258
423654
426456
426852
426858
429252
429258
429654
441252
441258
441654
444456
444852
444858
447252
447258
447654
462456
462852
462858
465252
465258
465654
468456
468852
468858
483252
483258
483654
486456
486852
486858
489252
489258
489654
522456
522852
522858
525252
525258
525654
528456
528852
528858
543252
543258
543654
546456
546852
546858
549252
549258
549654
561252
561258
561654
564456
564852
564858
567252
567258
567654
582456
582852
582856
585252
585258
585654
588456
588852
588856
621252
621258
621654
624456
624852
624858
627252
627258
627654
642456
642852
642856
645252
645258
645654
648456
648852
648856
663252
663258
663654
666456
666852
666858
669252
669258
669654
681252
681258
681654
684456
684852
684858
687252
687258
687654
723252
723258
723654
726456
726852
726858
729252
729258
729654
741252
741258
741654
744456
744852
744858
747252
747258
747654
762456
762852
762856
765252
765258
765654
768456
768852
768856
783252
783258
783654
786456
786852
786858
789252
789258
789654
822456
822852
822856
825252
825258
825654
828456
828852
828856
843252
843258
843654
846456
846852
846858
849252
849258
849654
861252
861258
861654
864456
864852
864858
867252
867258
867654
882456
882852
882856
885252
885258
885654
888456
888852
888856
921252
921258
921654
924456
924852
924858
927252
927258
927654
942456
942852
942856
945252
945258
945654
948456
948852
948856
963252
963258
963654
966456
966852
966858
969252
969258
969654
981252
981258
981654
984456
984852
984858
987252
987258
987654
Οι επιλογές του β είναι για α = 1
Όμοια για κάθε τιμή του α
Μάνο, κακώς έγραψες το πρώτο και το δεύτερό σου σχόλιο, αρκούσε το τρίτο?.
Μπράβο σου και πάλι!