Όταν παίρνουμε αυγά από ένα καλάθι ανά: 2, 3, 4, 5, και 6, κάθε φορά, τότε μένουν, αντίστοιχα: 1, 2, 3, 4, και 5 αυγά στο καλάθι.
Όταν όμως παίρνουμε ανά 7 δεν μένει κανένα.
Να υπολογισθεί ο ελάχιστος αριθμός αυγών που θα πρέπει να περιέχει το καλάθι, εάν γνωρίζουμε ότι ο αριθμός τους είναι μικρότερος του 200.
Του Ινδού μαθηματικού και αστρονόμου Brahmagupta, 7oς μ.Χ αιώνας
Προτάθηκε από Carlo de Grandi
119 αυγά
Έστω χ ο αριθμός των αυγών.
Πρέπει χ = 7κ, χ = 4ν+3 και χ =5μ+4, κ,μ,ν ακέραιοι
Είναι 5χ = 20ν +15 και 4χ = 20μ + 16
Με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε χ = 20(ν-μ) – 1
Το μοναδικό πολλαπλάσιο του 7 μικρότερο του 200, που αν αυξηθεί κατά 1 είναι πολλαπλάσιο του 20 είναι το 119.
Επσλήθευση
119=2*59+1
119=3*39+2
119=4*29+3
119=5*23+4
119=6*19+5
119=7*17
2η λύση
Έστω χ ο αριθμός των αυγών.
Το χ είναι πολλαπλάσιο του 7 και το χ+1 είναι πολλαπλάσιο των 2, 3, 4, 5, 6 και χ<200.
ΕΚΠ(2,3,4,5,6)= 60, άρα χ+1 = πολ60 < 200
Άρα χ=59 ή 119 ή 179
Μόνο το 119 είναι πολ7.
Ο χ-1 =πολλ.2 ,άρα ο χ-1+2=χ+1=πολλ.2[1],ο χ-2=πολλ.3 ,άρα ο χ-2+3=χ+1=πολλ.3[2] , ο χ-3=πολλ.4 ,άρα ο χ-3+4=χ+1=πολλ.4[3] ,ο χ-4=πολλ.5 ,άρα ο χ-4+5=χ+1=πολλ.5[4], ο χ-5=πολλ.6 ,άρα ο χ-5+6=χ+1=πολλ.6[5]. Επομένως ο χ+1=πολλ.60 ,άρα ο χ+1 είναι ή 60ή120ή180 ,δηλαδή ο χ είναι ή 59ή119ή179 από τα οποία μόνο το 119=πολλ.7 ,άρα χ=119.