Διπλώνουμε ορθογώνιο φύλλο χαρτιού κατά μήκος της διαγωνίου του. Αν α=2 cm και β=4 cm,να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ΔΖΓ
Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα
Διπλώνουμε ορθογώνιο φύλλο χαρτιού κατά μήκος της διαγωνίου του. Αν α=2 cm και β=4 cm,να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ΔΖΓΠροτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα
2,5 cm^2
Ναι Μάνο ,σωστά
https://app.box.com/s/h3ohx29ql158xi83pw3s4rubg4k8dr09
https://app.box.com/s/5n67sbx8vw7ee2vmofdfs1tt263atcej
https://app.box.com/s/zzrc9re848v7xjzhsjfwjhrnpbmfrw57
Παρόμοια λύση
https://app.box.com/s/zzrc9re848v7xjzhsjfwjhrnpbmfrw57
Διορθώνω
https://app.box.com/s/a4x619c7kntbv3sqwe98glju49quby17
@Μάνος Κοθρής
Μάνο στις δύο λύσεις σου να διορθώσεις τα τ.μ. σε τ. εκ.
@Μάνος Κοθρής
Και στη τρίτη λύση να γίνει η διόρθωση από τ.μ. σε τ. εκ.
Ωραίο πρόβλημα, μπράβο στο ΘΑΝΑΣΗ και πολλάκις μπράβο στον πολύτροπο Μάνο για τις όμορφες λύσεις του! Μου θύμισε ένα παρόμοιο, ίσως λίγο δυσκολότερο, πρόβλημα που είχα συναντήσει παλιότερα και το θέτω υπόψη σας.
Ένα κομμάτι χαρτί έχει ορθογώνιο σχήμα. Διπλώνοντας και τσακίζοντάς το με τρόπο ώστε δύο απέναντι κορυφές του να συμπέσουν, το μήκος της τσάκισης που σχηματίζεται είναι 65 mm. Είναι δυνατόν οι διαστάσεις του χαρτιού να είναι και οι δύο ακέραιες σε mm; Αν όχι, γιατί, αν ναι ποιες μπορεί να είναι αυτές;
Ειδικά από τον Κάρλο, αν μου κάνει την τιμή να ασχοληθεί, θα ζητήσω να απαντήσει αν είναι δυνατό και οι δύο διαστάσεις να είναι ακέραιες σε cm ?.
Διορθώθηκαν
Αν α,β οι διαστασεις του χαρτιου, μετα τους υπολογισμους προκυπτει η σχεση:
α^2+β^2=(1+sqrt(16901))/2 , που δεν ειναι ακεραιος.
Αρα ενας τουλαχιστον απο τους α και β δεν ειναι ακεραιος.
Διορθωνω το προηγουμενο.
α^2+β^2=(β*65/α)^2
Αναζητουμε πρωτογενεις πυθαγορειες τριαδες, αρα θα πρεπει:
α/65=1*65=5*13 αρα αΕ{1,5,13,65}
αλλα τοτε ο β δεν προκυπτει ακεραιος.
για α=5, προκυπτει β=5/sqrt(168) μη ακεραιος.
για α=13 –> β=13/sqrt(24) μη ακεραιος
ΟΙ αλλες δυο περιπτωσεις απορριπτονται ευκολα.
Αγαπητή(έ;) voulagx, νομίζω πως μπορεί να είναι και οι δύο διατάσεις ακέραιες, τουλάχιστον σε mm.
Δεν καταλαβαινω τι σχεση εχει η μοναδα μετρησης, υπαρχει κανενα τρικ; Αν μπορειτε να με βοηθησετε..
Ειμαι ο voulagx (βουλάγξ).
Αν μου επιτρέπεις, έλεγξε πιο προσεκτικά το σύνολο των δυνατών ακέραιων τιμών της διάστασης α.
Δεν υπάρχει κανένα τρικ, είμαστε τίμιοι εδώ ?.
Η μονάδα μέτρησης έχει σχέση με την έννοια ότι αν π.χ. βρούμε ότι μας κάνουν οι διαστάσεις 45 mm = 4,5cm και 90mm = 9cm, τότε και οι δύο διαστάσεις είναι μεν ακέραιες σε mm, όχι όμως και οι δύο σε cm.
Βοήθεια: κοίταξε με πόσους τρόπους μπορεί ο 65^2 να εκφραστεί ως άθροισμα τετραγώνων δύο ακεραίων. Από εκεί θα βρεις τις δυνατές ακέραιες τιμές της διάστασης α.
β=(α^2)/sqrt(65^2-a^2) αρα αΕ(1,64)
Μια λυση: (α,β)=(60,144) με τη βοηθεια λογιστικου φυλλου.
Ωραια ασκηση. Θενκς.
Πολύ σωστά! Δες τώρα και μια λύση χωρίς λογιστικό βοήθημα:
Η σχέση μεταξύ α και β, όπως προκύπτει από τη γεωμετρική ανάλυση που έκανες είναι:
β = α^2/√(65^2-α^2) (1).
Για να είναι ακέραιος ο β, πρέπει ο √(65^2-α^2) να είναι ακέραιος, άρα ο 65^2-α^2 τέλειο τετράγωνο, δηλαδή 65^2-α^2=κ^2 => α^2+κ^2=65^2 .
Δεδομένου ότι 65^2=5^2*13^2 και 5^2=3^2+4^2 και 13^2=5^2+12^2, ο 65^2 εκφράζεται ως άθροισμα δύο τετραγώνων με τους εξής τρόπους:
65^2 = (3^2+4^2)*13^2 = (3*13)^2+(4*13)^2 = 39^2+52^2
65^2 = 5^2*(5^2+12^2) = (5*5)^2+(5*12)^2 = 25^2+60^2
65^2 = (3*12+4*5)^2+(4*12-3*5)^2 = 56^2+33^2
65^2 = (3*12-4*5)^2+(4*12+3*5)^2 = 16^2+63^2
Όπως φαίνεται, οι υποψήφιες ακέραιες τιμές του α είναι οι 39, 52, 25, 60, 56, 33, 16 και 63.
Από αυτές, με αντικατάσταση στην (1), μόνο η α=60 δίνει ακέραιο β≥α και συγκεκριμένα β=144.
@Θανασης Παπαδημητριου.
Η πρωτη περιπτωση που εξετασα ηταν η: β/α=μ/ν οπου μ,ν πρωτοι μεταξυ τους αλλα εξ ατιας καποιου λαθους στις πραξεις κατεληξα σε ατοπο και την απερριψα.
Ευκολα υπολογιζεται, χωρις λαθη στις πραξεις, οτι μ/ν=12/5 , οποτε βρισκουμε (α,β)=(60,144).
Ευχαριστω.
Συνοπτικα η παραπανω λυση:
α^2+β^2=(65β/α) (1) με 1<α<65
Εστω: β=κ*μ, α=κ*ν, β/α=μ/ν, με μ,ν πρωτους μεταξυ τους. Απο την (1):
κ^2*(ν^2+μ^2)=(65*μ/ν)^2 (2)
Πρεπει: ν/65=5*13 αρα: ν=13 ή ν=5
1) ν=13 Απο την (2) εχουμε:
κ^2*(13^2+μ^2)=(65*μ/13)^2=(5*μ)^2 ή (κ*13)^2=(5^2-κ^2)*μ^2
Πρεπει: 5^2-κ^2=λ^2 αρα κΕ{3,4} [5^2=3^2+4^2]
Για κ=3: (3*13)^2=(5^2-3^2)*μ^2 =4^2*μ^2 προκυπτει μ=3*13/4 =9,75 απορρ.
Για κ=4: (4*13)^2=(5^2-4^2)*μ^2=3^2*μ^2 προκυπτει μ=4*13/3=17,33.. απορρ.
2) ν=5 Απο την (2) εχουμε:
κ^2*(5^2+μ^2)=(65*μ/5)^2=(13*μ)^2 ή (5*κ)^2=(13^2-κ^2)*μ^2
Πρεπει: 13^2-κ^2=λ^2 αρα κΕ{5,12} [13^2=12^2+5^2]
Για κ=5: (5*5)^2=(13^2-5^2)*(μ)^2=(12*μ)^2 προκυπτει μ=25/12=2,083.. απορρ.
Για κ=12: (5*12)^2=(13^2-12^2)*(μ^2)=(5*μ)^2 προκυπτει μ=12 δεκτη
Οποτε: α=κ*ν=12*5=60 και: β=κ*μ=12*12=144.
Σούπερ, φίλε voulagx, το έκανες κομματάκια? και σε ευχαριστώ με τη σειρά μου.
@Θανασης Παπαδημητριου:
Νομιζα οτι ειχα ανεβασει την γενικευση της ασκησης, ενα μυαλο τοχω κι αυτο σκουριασμενο, απλα την ειχα αποθηκευσει σε γουορντ. 🙂
Γενικά, αν το μήκος της τσάκισης είναι τ=π*ρ, όπου π,ρ είναι πρώτοι αριθμοί, τότε:
α^2+β^2=(τ*β/α)^2 (1) με 1<α<τ και α<β.
Εστω: β=κ*μ, α=κ*ν, β/α=μ/ν, με ν ν^2=ω^2-μ^2=(ω+μ)*(ω-μ)=ν*ν=(ν^2)*1
Αφου ο νE{1,π,ρ} ειναι πρωτος, εχουμε δυο περιπτωσεις:
α) ω+μ=ω-μ=ν => ω=ν και μ=0, ατοπον.
β) ω+μ=ν^2 και ω-μ=1, απ’ οπου προκυπτει:
ω=(ν^2+1)/2 και μ=(ν^2-1)/2
με: ν<μ ή ν<(ν^2-1)/2 ή 1+sqrt(2)<ν ή 2<ν αρα: νΕ{π,ρ}
οποτε απο την (3) εχουμε:
κ*ω=τ*μ/ν ή κ*(ν^2+1)/2 =τ*(ν^2-1)/(2*ν) ή κ=τ*(ν^2-1)/(ν*(ν^2+1))
και τελικα:
α=κ*ν=[τ*(ν^2-1)/ν(ν^2+1)]*ν=τ*(ν^2-1)/(ν^2+1) (Α)
β=κ*μ=[τ*(ν^2-1)/(ν*(ν^2+1))]*[(ν^2-1)/2]=[τ*(ν^2-1)^2]/[2*ν*(ν^2+1)] (Β)
Αφού ο ν είναι περιττός, ν=2*λ+1, λΕΝ, τότε αν τ=(2λ+1)*(2λ^2+2λ+1)=π*ρ οι τύποι
(Α) και (Β) δίνουν:
α=2λ(λ+1)(2λ+1)=π*sqrt(ρ^2-π^2)=π*sqrt(β)
β=(2λ(λ+1))^2=ρ^2-π^2
Εφαρμογή:
λ=1: τ=3*5=15, α=12, β=16
λ=2: τ=5*13=65, α=60, β=144 (η περίπτωση της άσκησης)
Παρατήρηση:
Αν μια τριάδα (α,β,τ) ικανοποιεί την: α^2+β^2=(τ*β/α)^2 τότε κάθε τριάδα (φ*α,φ*β,φ*τ), φΕΝ επίσης την ικανοποιεί.