Στο σταθμό του Μετρό, ο Γιάννης κατέβηκε την κυλιόμενη σκάλα πατώντας 50 σκαλιά. Όταν έφτασε στην αποβάθρα διαπίστωσε ότι ξέχασε να ακυρώσει το εισιτήριο του, οπότε, γύρισε πίσω στην ίδια κυλιόμενη σκάλα και την ανέβηκε πατώντας τώρα σε 125 σκαλιά. Είναι γνωστό, ότι, στον ίδιο χρόνο που ο Γιάννης πατούσε 5 σκαλιά στην άνοδο στην κάθοδο πατούσε 1 σκαλί.Ακύρωσε το εισιτήριο αλλά όταν πήγε να κατέβει, ξανά, η κυλιόμενη σκάλα λόγω βλάβης σταμάτησε και κατέβηκε χρησιμοποιώντας την σαν κανονική σκάλα. Πόσα σκαλιά κατέβηκε ο Γιάννης αυτή την φορά;
(Η ταχύτητα καθόδου της κυλιόμενης σκάλας και η ταχύτητα του Γιάννη θεωρούνται σταθερές ενώ η κίνηση του Γιάννη σε κάθε περίπτωση έγινε σκαλί-σκαλί. )
Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα
100 σκαλιά
Έστω ότι σε χρόνο t κάνει 1 βήμα καθόδου, 5 βήματα ανόδου και η σκάλα “τρώει” x σκαλιά.
Σε χρόνο 50t κάνει 50 βήματα καθόδου, 250 βήματα ανόδου και η σκάλα “τρώει” 50x σκαλιά.
Σε χρόνο 25t κάνει 25 βήματα καθόδου, 125 βήματα ανόδου και η σκάλα “τρώει” 25x σκαλιά.
Το μήκος της ακίνητης σκάλας είναι 50 + 50x ή 125 – 25x
50 + 50x = 125 – 25x
75x = 75
x = 1
Επομένως η σκάλα έχει 100 σκαλιά.
Έστω χ σκαλιά η απόσταση κορυφής-βάσης της σκάλας.
Στο χρόνο που ο Γιάννης πατάει κατεβαίνοντας τη σκάλα 50 σκαλιά, η σκάλα κατεβαίνει χ-50 σκαλιά.
Στο χρόνο που ο Γιάννης πατάει ανεβαίνοντας τη σκάλα 125 σκαλιά, η σκάλα κατεβαίνει 125-χ σκαλιά.
Στον ίδιο χρόνο που ο Γιάννης πατάει κατεβαίνοντας 50 σκαλιά, θα πάταγε ανεβαίνοντας 5*50=250 σκαλιά. Άρα ο χρόνος ανόδου ήταν το 125/250=1/2 του χρόνου καθόδου.
Η ταχύτητα της σκάλας δεν αλλάζει μεταξύ καθόδου και ανόδου του Γιάννη, επομένως:
(χ-50)/2=125-χ => χ=100
Εκατό σκαλιά κατέβηκε ο Γιάννης. Έστω «x» σκαλιά ανά δευτερόλεπτο προς τα κάτω η ταχύτητα της σκάλας (αν η σκάλα πάει προς τα πάνω απλά θα βγει x 50+50x=125-25x —> 50x+25x=125–50 —> 75x=75 —> x=1 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
125-25x=μ —> 125–25*1=μ —-> 125–25=μ —-> και μ=100
Εκατό σκαλιά κατέβηκε ο Γιάννης. Έστω «x» σκαλιά ανά δευτερόλεπτο προς τα
κάτω η ταχύτητα της σκάλας (αν η σκάλα πάει προς τα πάνω απλά θα βγει
x 50+50x=125-25x —> 50x+25x=125–50 —> 75x=75 —-> x=1 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
125-25x=μ —-> 125–25*1=μ —-> 125–25=μ —-> μ=100 (4)
Εκατό σκαλιά κατέβηκε ο Γιάννης. Έστω «x» σκαλιά ανά δευτερόλεπτο προς τα
κάτω η ταχύτητα της σκάλας (αν η σκάλα πάει προς τα πάνω απλά θα βγει x 50+50x=125-25x —> 50x+25x=125–50 —> 75x=75 —-> x=1 (3)
Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε:
125-25x=μ —-> 125–25*1=μ —-> 125–25=μ —-> μ=100 (4)
Η vΓ>vΣ γιατί αλλιώς δεν θα έφθανε ποτέ πάνω στην επιστροφή.
Ο χρόνος όταν κατεβαίνει s/(vΓ+vΣ) και όταν ανεβαίνει s/(vΓ-vΣ), όπου s το μήκος της σκάλας. Ο 2ος πενταπλάσιος άρα 5*(vΓ-vΣ)=vΓ+vΣ, vΓ=1,5vΣ. Άρα για κάθε 1 σκαλί της σκάλας ο Γ κατεβαίνει 1,5 σκαλί και ανεβαίνει 2/3 σκαλιά, δηλαδή 3/2-2/3=5/6 πιο πολλά σκαλιά, άρα τα σκαλιά είναι 75:(5/6)=90.
Αναρτώ εκ νέου τη λύση, διότι εμφανίστηκε η μίση.
Λύση:
Εκατό σκαλιά κατέβηκε ο Γιάννης. Έστω «x» σκαλιά ανά δευτερόλεπτο προς τα κάτω η ταχύτητα της σκάλας (αν η σκάλα πάει προς τα πάνω απλά θα βγει x < 0). Για να κατέβει ο Γιάννης θέλει: 50/1 = 50 δευτερόλεπτα. Για να ανέβει ο Γιάννης θέλει:125/5 = 25 δευτερόλεπτα. (α)Στο κατέβασμα: 50 + 50x = μ (1) (50 σκαλοπάτια ο Γιάννης και 50x σκαλοπάτια λόγω κίνησης της σκάλας ίσον «μ» συνολικός αριθμός σκαλοπατιών της σκάλας) (β)Στο ανέβασμα: 125 - 25x = μ (2) (125 σκαλοπάτια ο Γιάννης και 25x σκαλοπάτια λόγω κίνησης της σκάλας ίσον «μ» συνολικός αριθμός σκαλοπατιών της σκάλας) Αντικαθιστούμε τη (2) στην (1) κι’ έχουμε: 50 + 50x = μ 50 + 50x = 125 - 25x 50x +25x =125 – 50 75x = 75 x = 1 (3) Αντικαθιστούμε τη (3) στη (2) κι’ έχουμε: 125 - 25x = μ 125 – 25*1 = μ 125 – 25 = μ και μ = 100 (4)