Σε ένα 3×3 πίνακα έχουμε γράψει 9 φυσικούς αριθμούς .
Ο Γιάννης έσβησε 4 από αυτούς και ο Νίκος επίσης
έσβησε 4 από αυτούς. Παρατηρήθηκε ότι:
Α. Οι 8 σβησμένοι αριθμοί είναι διαφορετικοί μεταξύ τους.
Β. Το άθροισμα των αριθμών που έσβησε ο Νίκος είναι
τριπλάσιο από το άθροισμα των αριθμών που έσβησε ο
Γιάννης.
Ποιος αριθμός έμεινε άσβηστος στον πίνακα;
Προτάθηκε από Αθανάσιο Δρούγα
Το άθροισμα όλων των αριθμών του πίνακα είναι 89.
Αν α το άθροισμα των αριθμών που έσβησε ο Γιάννης, τότε 3α το άθροισμα των αριθμών που έσβησε ο Νίκος και 4α το συνολικό άθροισμα των αριθμών που σβήστηκαν.
Ο αριθμός που έμεινε είναι ο 89-4α = 4*(44-α) + 1, δηλαδή διαιρούμενος με το 4 αφήνει υπόλοιπο 1.
Άρα έμεινε άσβηστος το 13 ή το 5
Αν έμεινε άσβηστος το 13, τότε:
ο Γιάννης έσβησε 2,4,5,8 (άθροισμα 19) και ο Νίκος έσβησε 7,12,14,24 (άθροισμα 57)
Αν έμεινε άσβηστος το 5, τότε:
ο Γιάννης έσβησε 2,4,7,8 (άθροισμα 21) και ο Νίκος έσβησε 12,13,14,24 (άθροισμα 63)
Το άθροισμα και των εννιά αριθμών είναι 89=1mod4. Αν οι τέσσερις που έσβησε ο Γιάννης έχουν άθροισμα α, τότε οι τέσσερις που έσβησε ο Νίκος έχουν άθροισμα 3α, άρα το άθροισμα και των οχτώ είναι α+3α=4α=0mod4. Αν λοιπόν χ
ο άσβηστος αριθμός, έχουμε χ+0=1mod4 => χ=1mod4.
Από τους εννιά, ισοτιμίας 1mod4 είναι μόνο ο 5 και ο 13.
Για χ=5, έχουμε:
89-5=4α => α=21 και 21=2+4+7+8,
3×21=63=12+13+14+24
Για χ=13, έχουμε:
89-13=4α => α=19 και 19=2+4+5+8, 3×19=57=7+12+14+24
Άρα άσβηστος έμεινε ή ο 5 ή ο 13.
Στον πίνακα έμεινε ο αριθμός 5.
Γιάννης:4+7+2+8=21
Νίκος:13+24+14+12=63
Το 63 είναι το τριπλάσιο του 21 (21*3=63)
Σ όλων=89,Σ σβ.Γ.=χ,Σ σβ.Ν.=3χ, Σ σβ.Ν.Γ.=4χ.Τα μόνα πολλ. του 4 από το Σ και των 9 αν βγάλω 1 είναι 76 αν βγάλω το 13 ή 85 αν βγάλω το 4.α) Με έξω το 13 χ=19 με τους σβ. του Γ. 2,4,5,8 και του Ν. 7,12,14,24, β) με έξω το 5 χ=21 με τους σβ. του Γ. 2,4,7,8 και του Ν. 12,13,14,24.