Διαίρεσα το δέκα σε δύο μέρη, και αφού πολλαπλασίασα το κάθε μέρος με τον εαυτό του τα πρόσθεσα, και πρόσθεσα στο άθροισμά τους τη διαφορά των δύο μερών, και το σύνολο ήταν 54.
Ποια είναι τα μέρη;
Πηγή:
Από το βιβλίο του Άραβα μαθηματικού Abu-Abdullah Mohammed ibn Musa Al-Khwarizmi (790-850μ.Χ.) με τίτλο: «Hisab al – jabr w ’ al – muqabala», 825μ.Χ.. (34 προβλήματα).
προτάθηκε από Carlo de Grandi
papaveri48.blogspot.com
degrand1@otenete.gr
Το 6 και το 4.
6*6+4*4+(6-4)=54
Σα να κακομάθαμε όμως με τα ευκολάκια?, τι λες Κάρλο, να προτείνω κάτι λιγάκι δυσκολότερο;
Το άθροισμα συν το γινόμενο δύο διαφορετικών φυσικών αριθμών είναι 28560. Βρείτε τους δύο αριθμούς.
x^2+(10-x)^2+10-2x=54 με λύσεις 7 και 4. Άρα (7,3) και (4,6) τα μέρη.
x^2+(10-x)^2+2x-10=54 με λύσεις (9+3*sqrt(17))/2 και (9-3*sqrt(17))/2. Άρα (((9+3*sqrt(17))/2,(11-3*sqrt(17))/2) και (((9-3*sqrt(17))/2,(11+3*sqrt(17))/2) τα μέρη.
(α+1)(β+1)=28561=13^4, με α>β προκύπτουν α=28560, β=0 και α=2196, β=12
Εξαιρετικός ο ΚΔ!
Να προσθέσω μόνο ότι το 0 (συνήθως) δεν θεωρείται φυσικός αριθμός, οπότε οι δύο αριθμοί είναι το δεύτερο ζευγάρι.
χ+ψ+χψ=κ= > χ+ψ+χψ+1=κ+1 => (χ+1)*(ψ+1)=κ+1, οπου: χ>ψ>0.
Τρεις περιπτωσεις για να εχουμε μοναδικη λυση:
1) (χ+1)*(ψ+1)=κ+1=π*ρ, με χ>ψ και: π>ρ, οι π,ρ ειναι πρωτοι αριθμοι.
χ+1=π => χ=π-1, ψ+1=ρ => ψ=ρ-1
2) (χ+1)*(ψ+1)=κ+1=λ^3=(λ^2)*λ, ο λ πρωτος.
χ+1=λ^2 => χ=(λ^2)-1, ψ+1=λ => ψ=λ-1
3) (χ+1)*(ψ+1)=κ+1=λ^4=(λ^3)*λ, ο λ πρωτος.
χ+1=λ^3 => χ=(λ^3)-1, ψ+1=λ => ψ=λ-1
Για: λ=13 εχουμε την περιπτωση του προβλήματος.
χ=(13^3)-1=2196, ψ=13-1=12